Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- 4 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - \frac{33 \sin{\left(x \right)}}{85} - \frac{4 \cos{\left(x \right)}}{85} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1.04131672607427$$
$$x_{2} = -97.5099959298637$$
$$x_{3} = -31.536550204478$$
$$x_{4} = -40.9613281652474$$
$$x_{5} = -94.3684032762739$$
$$x_{6} = -25.2533648972985$$
$$x_{7} = -91.2268106226841$$
$$x_{8} = -18.9701795901189$$
$$x_{9} = -3.25457486376707$$
$$x_{10} = -44.1029208188372$$
$$x_{11} = -9.54540160318349$$
$$x_{12} = -6.40382298711638$$
$$x_{13} = -72.3772547011453$$
$$x_{14} = -100.651588583453$$
$$x_{15} = -62.952476740376$$
$$x_{16} = -69.2356620475556$$
$$x_{17} = -12.6869942829881$$
$$x_{18} = -47.244513472427$$
$$x_{19} = -75.5188473547351$$
$$x_{20} = -28.3949575508882$$
$$x_{21} = -81.8020326619147$$
$$x_{22} = -59.8108840867862$$
$$x_{23} = -34.6781428580678$$
$$x_{24} = -56.6692914331964$$
$$x_{25} = -66.0940693939658$$
$$x_{26} = -53.5276987796066$$
$$x_{27} = -78.6604400083249$$
$$x_{28} = -88.0852179690943$$
$$x_{29} = -50.3861061260168$$
$$x_{30} = -22.1117722437087$$
$$x_{31} = -84.9436253155045$$
$$x_{32} = -15.828586936529$$
$$x_{33} = -37.8197355116576$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1.041316726074265, 0.0965793821534147)
(-97.50999592986369, -0.391076944437521)
(-31.536550204478036, 0.391076944437521)
(-40.961328165247416, -0.391076944437521)
(-94.3684032762739, 0.391076944437521)
(-25.25336489729845, 0.391076944437522)
(-91.22681062268411, -0.391076944437521)
(-18.970179590118864, 0.391076944437521)
(-3.254574863767073, -0.392557491850165)
(-44.102920818837205, 0.391076944437521)
(-9.545401603183485, -0.39107694955398)
(-6.403822987116385, 0.391074204647358)
(-72.37725470114535, -0.391076944437521)
(-100.65158858345349, 0.391076944437521)
(-62.952476740375964, 0.391076944437521)
(-69.23566204755555, 0.391076944437521)
(-12.68699428298814, 0.391076944427967)
(-47.244513472427, -0.391076944437521)
(-75.51884735473514, 0.391076944437521)
(-28.394957550888243, -0.391076944437522)
(-81.80203266191472, 0.391076944437521)
(-59.810884086786174, -0.391076944437521)
(-34.67814285806783, -0.391076944437521)
(-56.66929143319638, 0.391076944437521)
(-66.09406939396577, -0.391076944437521)
(-53.52769877960659, -0.391076944437521)
(-78.66044000832494, -0.391076944437521)
(-88.08521796909432, 0.391076944437521)
(-50.38610612601679, 0.391076944437521)
(-22.111772243708657, -0.391076944437522)
(-84.94362531550452, -0.391076944437521)
(-15.828586936528978, -0.391076944437539)
(-37.81973551165762, 0.391076944437521)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -97.5099959298637$$
$$x_{2} = -40.9613281652474$$
$$x_{3} = -91.2268106226841$$
$$x_{4} = -3.25457486376707$$
$$x_{5} = -9.54540160318349$$
$$x_{6} = -72.3772547011453$$
$$x_{7} = -47.244513472427$$
$$x_{8} = -28.3949575508882$$
$$x_{9} = -59.8108840867862$$
$$x_{10} = -34.6781428580678$$
$$x_{11} = -66.0940693939658$$
$$x_{12} = -53.5276987796066$$
$$x_{13} = -78.6604400083249$$
$$x_{14} = -22.1117722437087$$
$$x_{15} = -84.9436253155045$$
$$x_{16} = -15.828586936529$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{16} = -1.04131672607427$$
$$x_{16} = -31.536550204478$$
$$x_{16} = -94.3684032762739$$
$$x_{16} = -25.2533648972985$$
$$x_{16} = -18.9701795901189$$
$$x_{16} = -44.1029208188372$$
$$x_{16} = -6.40382298711638$$
$$x_{16} = -100.651588583453$$
$$x_{16} = -62.952476740376$$
$$x_{16} = -69.2356620475556$$
$$x_{16} = -12.6869942829881$$
$$x_{16} = -75.5188473547351$$
$$x_{16} = -81.8020326619147$$
$$x_{16} = -56.6692914331964$$
$$x_{16} = -88.0852179690943$$
$$x_{16} = -50.3861061260168$$
$$x_{16} = -37.8197355116576$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-3.25457486376707, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -97.5099959298637\right]$$