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Trazado el gráfico de la función/ 6*(x^2+2*x)-2*(sin(x)+cos(x))

Gráfico de la función y = 6*(x^2+2*x)-2*(sin(x)+cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         / 2      \                      
f(x) = 6*\x  + 2*x/ - 2*(sin(x) + cos(x))
f(x)=6(x2+2x)−2(sin⁡(x)+cos⁡(x))f{\left(x \right)} = 6 \left(x^{2} + 2 x\right) - 2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) 
f = 6*(x^2 + 2*x) - 2*(sin(x) + cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
6(x2+2x)−2(sin⁡(x)+cos⁡(x))=06 \left(x^{2} + 2 x\right) - 2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−1.77796577592218x_{1} = -1.77796577592218
x2=0.177713940385439x_{2} = 0.177713940385439
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 6*(x^2 + 2*x) - 2*(sin(x) + cos(x)).
−2(sin⁡(0)+cos⁡(0))+6(02+0⋅2)- 2 \left(\sin{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)}\right) + 6 \left(0^{2} + 0 \cdot 2\right)
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12x+2sin⁡(x)−2cos⁡(x)+12=012 x + 2 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 12 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−0.764349948948651x_{1} = -0.764349948948651
Signos de extremos en los puntos:
(-0.7643499489486513, -5.72634326559263)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−0.764349948948651x_{1} = -0.764349948948651
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−0.764349948948651,∞)\left[-0.764349948948651, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−0.764349948948651]\left(-\infty, -0.764349948948651\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(sin⁡(x)+cos⁡(x)+6)=02 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + 6\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(6(x2+2x)−2(sin⁡(x)+cos⁡(x)))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(6 \left(x^{2} + 2 x\right) - 2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(6(x2+2x)−2(sin⁡(x)+cos⁡(x)))=∞\lim_{x \to \infty}\left(6 \left(x^{2} + 2 x\right) - 2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 6*(x^2 + 2*x) - 2*(sin(x) + cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(6(x2+2x)−2(sin⁡(x)+cos⁡(x))x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 \left(x^{2} + 2 x\right) - 2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(6(x2+2x)−2(sin⁡(x)+cos⁡(x))x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 \left(x^{2} + 2 x\right) - 2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
6(x2+2x)−2(sin⁡(x)+cos⁡(x))=6x2−12x+2sin⁡(x)−2cos⁡(x)6 \left(x^{2} + 2 x\right) - 2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = 6 x^{2} - 12 x + 2 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}
- No
6(x2+2x)−2(sin⁡(x)+cos⁡(x))=−6x2+12x−2sin⁡(x)+2cos⁡(x)6 \left(x^{2} + 2 x\right) - 2 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = - 6 x^{2} + 12 x - 2 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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