Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(1-(y-1)^2)

Gráfico de la función y = sqrt(1-(y-1)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ______________
         /            2 
f(y) = \/  1 - (y - 1)
f(y)=1−(y−1)2f{\left(y \right)} = \sqrt{1 - \left(y - 1\right)^{2}} 
f = sqrt(1 - (y - 1)^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1−(y−1)2=0\sqrt{1 - \left(y - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:

Solución analítica
y1=0y_{1} = 0
y2=2y_{2} = 2
Solución numérica
y1=0y_{1} = 0
y2=2y_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando y es igual a 0:
sustituimos y = 0 en sqrt(1 - (y - 1)^2).
1−(−1)2\sqrt{1 - \left(-1\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddyf(y)=0\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddyf(y)=\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} =
primera derivada
1−y1−(y−1)2=0\frac{1 - y}{\sqrt{1 - \left(y - 1\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
y1=1y_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(1, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
y1=1y_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Crece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dy2f(y)=0\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dy2f(y)=\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} =
segunda derivada
−1+(y−1)21−(y−1)21−(y−1)2=0- \frac{1 + \frac{\left(y - 1\right)^{2}}{1 - \left(y - 1\right)^{2}}}{\sqrt{1 - \left(y - 1\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
lim⁡y→−∞1−(y−1)2=∞i\lim_{y \to -\infty} \sqrt{1 - \left(y - 1\right)^{2}} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡y→∞1−(y−1)2=∞i\lim_{y \to \infty} \sqrt{1 - \left(y - 1\right)^{2}} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(1 - (y - 1)^2), dividida por y con y->+oo y y ->-oo
lim⁡y→−∞(1−(y−1)2y)=−i\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{1 - \left(y - 1\right)^{2}}}{y}\right) = - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−iyy = - i y
lim⁡y→∞(1−(y−1)2y)=i\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\sqrt{1 - \left(y - 1\right)^{2}}}{y}\right) = i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=iyy = i y
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
1−(y−1)2=1−(−y−1)2\sqrt{1 - \left(y - 1\right)^{2}} = \sqrt{1 - \left(- y - 1\right)^{2}}
- No
1−(y−1)2=−1−(−y−1)2\sqrt{1 - \left(y - 1\right)^{2}} = - \sqrt{1 - \left(- y - 1\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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