Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(1)+cos(x)+sin(x)

Gráfico de la función y = cos(1)+cos(x)+sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(1) + cos(x) + sin(x)
f(x)=(cos⁡(x)+cos⁡(1))+sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(1 \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} 
f = cos(x) + cos(1) + sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(cos⁡(x)+cos⁡(1))+sin⁡(x)=0\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(1 \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2atan⁡(−tan⁡4(12)+1+6tan⁡2(12)+tan⁡2(12)+12tan⁡2(12))x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{\tan^{4}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1 + 6 \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}} + \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1}{2 \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}} \right)}
x2=2atan⁡(tan⁡2(12)+1+tan⁡4(12)+1+6tan⁡2(12)2tan⁡2(12))x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1 + \sqrt{\tan^{4}{\left(\frac{1}{2} \right)} + 1 + 6 \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}}}{2 \tan^{2}{\left(\frac{1}{2} \right)}} \right)}
Solución numérica
x1=30.2385132744879x_{1} = 30.2385132744879
x2=−82.8588222547447x_{2} = -82.8588222547447
x3=5.10577204576953x_{3} = 5.10577204576953
x4=−22.3845316405134x_{4} = -22.3845316405134
x5=65.5800626600008x_{5} = 65.5800626600008
x6=−16.1013463333338x_{6} = -16.1013463333338
x7=46.7305067384621x_{7} = 46.7305067384621
x8=−110.349125941028x_{8} = -110.349125941028
x9=71.8632479671804x_{9} = 71.8632479671804
x10=53.0136920456416x_{10} = 53.0136920456416
x11=−3.53497571897464x_{11} = -3.53497571897464
x12=−45.1597104116672x_{12} = -45.1597104116672
x13=−64.0092663332059x_{13} = -64.0092663332059
x14=55.3712545032062x_{14} = 55.3712545032062
x15=−60.0836434835909x_{15} = -60.0836434835909
x16=−1461.23396698464x_{16} = -1461.23396698464
x17=−20.0269691829488x_{17} = -20.0269691829488
x18=−72.6500140979501x_{18} = -72.6500140979501
x19=90.7128038887192x_{19} = 90.7128038887192
x20=96.9959891958987x_{20} = 96.9959891958987
x21=−229.72964677744x_{21} = -229.72964677744
x22=78.14643327436x_{22} = 78.14643327436
x23=−41.2340875620522x_{23} = -41.2340875620522
x24=93.0703663462837x_{24} = 93.0703663462837
x25=−76.5756369475651x_{25} = -76.5756369475651
x26=−97.7827553266684x_{26} = -97.7827553266684
x27=42.8048838888471x_{27} = 42.8048838888471
x28=−91.4995700194888x_{28} = -91.4995700194888
x29=−78.9331994051297x_{29} = -78.9331994051297
x30=99.3535516534633x_{30} = 99.3535516534633
x31=17.6721426601287x_{31} = 17.6721426601287
x32=−95.4251928691039x_{32} = -95.4251928691039
x33=34.1641361241029x_{33} = 34.1641361241029
x34=−85.2163847123093x_{34} = -85.2163847123093
x35=−13.7437838757692x_{35} = -13.7437838757692
x36=−38.8765251044876x_{36} = -38.8765251044876
x37=−7.46059856858964x_{37} = -7.46059856858964
x38=−51.4428957188467x_{38} = -51.4428957188467
x39=15.3145802025641x_{39} = 15.3145802025641
x40=67.9376251175654x_{40} = 67.9376251175654
x41=49.0880691960266x_{41} = 49.0880691960266
x42=27.8809508169233x_{42} = 27.8809508169233
x43=−47.5172728692317x_{43} = -47.5172728692317
x44=61.6544398103858x_{44} = 61.6544398103858
x45=74.220810424745x_{45} = 74.220810424745
x46=21.5977655097437x_{46} = 21.5977655097437
x47=8223.51215383667x_{47} = 8223.51215383667
x48=2.74820958820495x_{48} = 2.74820958820495
x49=80.5039957319246x_{49} = 80.5039957319246
x50=−28.667716947693x_{50} = -28.667716947693
x51=11.3889573529491x_{51} = 11.3889573529491
x52=−32.593339797308x_{52} = -32.593339797308
x53=−1.17741326141005x_{53} = -1.17741326141005
x54=9.03139489538454x_{54} = 9.03139489538454
x55=−9.81816102615422x_{55} = -9.81816102615422
x56=86.7871810391042x_{56} = 86.7871810391042
x57=40.4473214312825x_{57} = 40.4473214312825
x58=−57.7260810260263x_{58} = -57.7260810260263
x59=84.4296185815396x_{59} = 84.4296185815396
x60=36.5216985816675x_{60} = 36.5216985816675
x61=−70.2924516403855x_{61} = -70.2924516403855
x62=23.9553279673083x_{62} = 23.9553279673083
x63=−89.1420075619243x_{63} = -89.1420075619243
x64=−26.3101544901284x_{64} = -26.3101544901284
x65=−1282.94721592605x_{65} = -1282.94721592605
x66=−53.8004581764113x_{66} = -53.8004581764113
x67=59.2968773528212x_{67} = 59.2968773528212
x68=−34.9509022548726x_{68} = -34.9509022548726
x69=−66.3668287907705x_{69} = -66.3668287907705
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(1) + cos(x) + sin(x).
sin⁡(0)+(cos⁡(1)+cos⁡(0))\sin{\left(0 \right)} + \left(\cos{\left(1 \right)} + \cos{\left(0 \right)}\right)
Resultado:
f(0)=cos⁡(1)+1f{\left(0 \right)} = \cos{\left(1 \right)} + 1
Punto:
(0, 1 + cos(1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)+cos⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    ___          
(--, \/ 2  + cos(1))
 4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,π4]\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]
Crece en los intervalos
[π4,∞)\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡(x)+cos⁡(x))=0- (\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]
Convexa en los intervalos
[−π4,∞)\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((cos⁡(x)+cos⁡(1))+sin⁡(x))=⟨−2,2⟩+cos⁡(1)\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(1 \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle + \cos{\left(1 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩+cos⁡(1)y = \left\langle -2, 2\right\rangle + \cos{\left(1 \right)}
lim⁡x→∞((cos⁡(x)+cos⁡(1))+sin⁡(x))=⟨−2,2⟩+cos⁡(1)\lim_{x \to \infty}\left(\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(1 \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle + \cos{\left(1 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩+cos⁡(1)y = \left\langle -2, 2\right\rangle + \cos{\left(1 \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(1) + cos(x) + sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((cos⁡(x)+cos⁡(1))+sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(1 \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((cos⁡(x)+cos⁡(1))+sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(1 \right)}\right) + \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(cos⁡(x)+cos⁡(1))+sin⁡(x)=−sin⁡(x)+cos⁡(x)+cos⁡(1)\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(1 \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(1 \right)}
- No
(cos⁡(x)+cos⁡(1))+sin⁡(x)=sin⁡(x)−cos⁡(x)−cos⁡(1)\left(\cos{\left(x \right)} + \cos{\left(1 \right)}\right) + \sin{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(1 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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