Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ tg(x/4)/(1+(tg(x/4))^2)

Gráfico de la función y = tg(x/4)/(1+(tg(x/4))^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             /x\  
          tan|-|  
             \4/  
f(x) = -----------
              2/x\
       1 + tan |-|
               \4/
f(x)=tan⁡(x4)tan⁡2(x4)+1f{\left(x \right)} = \frac{\tan{\left(\frac{x}{4} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} + 1} 
f = tan(x/4)/(tan(x/4)^2 + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101-1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
tan⁡(x4)tan⁡2(x4)+1=0\frac{\tan{\left(\frac{x}{4} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−43.9822971502571x_{1} = -43.9822971502571
x2=−31.4159265358979x_{2} = -31.4159265358979
x3=6.28318530717959x_{3} = 6.28318530717959
x4=−238.761041672824x_{4} = -238.761041672824
x5=94.2477796076938x_{5} = 94.2477796076938
x6=50.2654824574367x_{6} = 50.2654824574367
x7=56.5486677646163x_{7} = 56.5486677646163
x8=43.9822971502571x_{8} = 43.9822971502571
x9=−50.2654824574367x_{9} = -50.2654824574367
x10=37.6991118430775x_{10} = 37.6991118430775
x11=−56.5486677646163x_{11} = -56.5486677646163
x12=−62.8318530717959x_{12} = -62.8318530717959
x13=−81.6814089933346x_{13} = -81.6814089933346
x14=−6.28318530717959x_{14} = -6.28318530717959
x15=−25.1327412287183x_{15} = -25.1327412287183
x16=−75.398223686155x_{16} = -75.398223686155
x17=−106.814150222053x_{17} = -106.814150222053
x18=−69.1150383789755x_{18} = -69.1150383789755
x19=62.8318530717959x_{19} = 62.8318530717959
x20=−18.8495559215388x_{20} = -18.8495559215388
x21=25.1327412287183x_{21} = 25.1327412287183
x22=100.530964914873x_{22} = 100.530964914873
x23=−87.9645943005142x_{23} = -87.9645943005142
x24=75.398223686155x_{24} = 75.398223686155
x25=81.6814089933346x_{25} = 81.6814089933346
x26=87.9645943005142x_{26} = 87.9645943005142
x27=12.5663706143592x_{27} = 12.5663706143592
x28=69.1150383789755x_{28} = 69.1150383789755
x29=0x_{29} = 0
x30=−37.6991118430775x_{30} = -37.6991118430775
x31=31.4159265358979x_{31} = 31.4159265358979
x32=−12.5663706143592x_{32} = -12.5663706143592
x33=−94.2477796076938x_{33} = -94.2477796076938
x34=−100.530964914873x_{34} = -100.530964914873
x35=18.8495559215388x_{35} = 18.8495559215388
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(x/4)/(1 + tan(x/4)^2).
tan⁡(04)tan⁡2(04)+1\frac{\tan{\left(\frac{0}{4} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{0}{4} \right)} + 1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
tan⁡2(x4)4+14tan⁡2(x4)+1−(tan⁡2(x4)2+12)tan⁡2(x4)(tan⁡2(x4)+1)2=0\frac{\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4} + \frac{1}{4}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} + 1} - \frac{\left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) \tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−πx_{1} = - \pi
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(-pi, -1/2)

(pi, 1/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−πx_{1} = - \pi
Puntos máximos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Decrece en los intervalos
[−π,π]\left[- \pi, \pi\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−π]∪[π,∞)\left(-\infty, - \pi\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−2+2tan⁡2(x4)tan⁡2(x4)+1)tan⁡(x4)8=0\frac{\left(-2 + \frac{2 \tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} + 1}\right) \tan{\left(\frac{x}{4} \right)}}{8} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(tan⁡(x4)tan⁡2(x4)+1)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{4} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} + 1}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(tan⁡(x4)tan⁡2(x4)+1)y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{4} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} + 1}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(x/4)/(1 + tan(x/4)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(tan⁡(x4)x(tan⁡2(x4)+1))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{4} \right)}}{x \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} + 1\right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(tan⁡(x4)x(tan⁡2(x4)+1))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(\frac{x}{4} \right)}}{x \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} + 1\right)}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
tan⁡(x4)tan⁡2(x4)+1=−tan⁡(x4)tan⁡2(x4)+1\frac{\tan{\left(\frac{x}{4} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} + 1} = - \frac{\tan{\left(\frac{x}{4} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} + 1}
- No
tan⁡(x4)tan⁡2(x4)+1=tan⁡(x4)tan⁡2(x4)+1\frac{\tan{\left(\frac{x}{4} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} + 1} = \frac{\tan{\left(\frac{x}{4} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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