Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$- \frac{24 \left(\sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{x} + \frac{3 \left(2 x - \sin{\left(2 x \right)}\right)}{x^{2}}\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 89.5353906273091$$
$$x_{2} = 94.2159378620236$$
$$x_{3} = 100.501114500159$$
$$x_{4} = 65.9279415029586$$
$$x_{5} = 42.4115008234622$$
$$x_{6} = 28.1678297079936$$
$$x_{7} = -42.4115008234622$$
$$x_{8} = -29.845130209103$$
$$x_{9} = -94.2159378620236$$
$$x_{10} = -36.1283155162826$$
$$x_{11} = 86.3937979737193$$
$$x_{12} = -98.9601685880785$$
$$x_{13} = -34.470488331285$$
$$x_{14} = -15.5146030108867$$
$$x_{15} = -61.261056745001$$
$$x_{16} = -12.3229409705666$$
$$x_{17} = -95.8185759344887$$
$$x_{18} = 23.5619449019235$$
$$x_{19} = -100.501114500159$$
$$x_{20} = -14.1371669411541$$
$$x_{21} = -81.6446644013823$$
$$x_{22} = 12.3229409705666$$
$$x_{23} = 58.1194640914112$$
$$x_{24} = -75.3584139333214$$
$$x_{25} = 72.2150884704073$$
$$x_{26} = -23.5619449019235$$
$$x_{27} = -86.3937979737193$$
$$x_{28} = -31.3201417074472$$
$$x_{29} = 50.205728336738$$
$$x_{30} = -67.5442420521806$$
$$x_{31} = -80.1106126665397$$
$$x_{32} = -1.5707963267949$$
$$x_{33} = 92.6769832808989$$
$$x_{34} = 36.1283155162826$$
$$x_{35} = -39.2699081698724$$
$$x_{36} = 87.9304764379571$$
$$x_{37} = 34.470488331285$$
$$x_{38} = 4.71238898038469$$
$$x_{39} = 48.6946861306418$$
$$x_{40} = -97.3585583298596$$
$$x_{41} = 43.9139818113646$$
$$x_{42} = -50.205728336738$$
$$x_{43} = 70.6858347057703$$
$$x_{44} = -45.553093477052$$
$$x_{45} = -139.800873084746$$
$$x_{46} = -89.5353906273091$$
$$x_{47} = 73.8274273593601$$
$$x_{48} = -53.3508435852932$$
$$x_{49} = -72.2150884704073$$
$$x_{50} = 20.4203522483337$$
$$x_{51} = 5.76345919689455$$
$$x_{52} = 18.6890363553628$$
$$x_{53} = 1.5707963267949$$
$$x_{54} = 45.553093477052$$
$$x_{55} = 95.8185759344887$$
$$x_{56} = -20.4203522483337$$
$$x_{57} = -58.1194640914112$$
$$x_{58} = 80.1106126665397$$
$$x_{59} = 7.85398163397448$$
$$x_{60} = 185.337779899817$$
$$x_{61} = 26.7035375555132$$
$$x_{62} = -43.9139818113646$$
$$x_{63} = 29.845130209103$$
$$x_{64} = -28.1678297079936$$
$$x_{65} = -87.9304764379571$$
$$x_{66} = 14.1371669411541$$
$$x_{67} = -6878.51711503485$$
$$x_{68} = -21.8538742227098$$
$$x_{69} = 59.6399585795582$$
$$x_{70} = 56.495566261812$$
$$x_{71} = -37.6193657535884$$
$$x_{72} = -64.4026493985908$$
$$x_{73} = -83.2522053201295$$
$$x_{74} = 15.5146030108867$$
$$x_{75} = 21.8538742227098$$
$$x_{76} = -4.71238898038469$$
$$x_{77} = -59.6399585795582$$
$$x_{78} = -5.76345919689455$$
$$x_{79} = 51.8362787842316$$
$$x_{80} = 37.6193657535884$$
$$x_{81} = 64.4026493985908$$
$$x_{82} = -73.8274273593601$$
$$x_{83} = -32.9867228626928$$
$$x_{84} = -65.9279415029586$$
$$x_{85} = -51.8362787842316$$
$$x_{86} = -56.495566261812$$
$$x_{87} = 67.5442420521806$$
$$x_{88} = -78.5016005602391$$
$$x_{89} = -7.85398163397448$$
$$x_{90} = 78.5016005602391$$
$$x_{91} = 81.6446644013823$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{24 \left(\sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{x} + \frac{3 \left(2 x - \sin{\left(2 x \right)}\right)}{x^{2}}\right)}{x^{3}}\right) = \frac{16}{5}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{24 \left(\sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}{x} + \frac{3 \left(2 x - \sin{\left(2 x \right)}\right)}{x^{2}}\right)}{x^{3}}\right) = \frac{16}{5}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[95.8185759344887, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -100.501114500159\right]$$