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|x/3-3/x|+(x/3+3/x)
Trazado el gráfico de la función/ |x/3-3/x|+(x/3+3/x)

Gráfico de la función y = |x/3-3/x|+(x/3+3/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |x   3|   x   3
f(x) = |- - -| + - + -
       |3   x|   3   x
f(x)=(x3+3x)+∣x3−3x∣f{\left(x \right)} = \left(\frac{x}{3} + \frac{3}{x}\right) + \left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right| 
f = x/3 + 3/x + |x/3 - 3/x|
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010200-100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x3+3x)+∣x3−3x∣=0\left(\frac{x}{3} + \frac{3}{x}\right) + \left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x/3 - 3/x| + x/3 + 3/x.
∣03−30∣+(03+30)\left|{\frac{0}{3} - \frac{3}{0}}\right| + \left(\frac{0}{3} + \frac{3}{0}\right)
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(13+3x2)(x3−3x)x29−2+9x2+13−3x2=0\frac{\left(\frac{1}{3} + \frac{3}{x^{2}}\right) \left(\frac{x}{3} - \frac{3}{x}\right)}{\sqrt{\frac{x^{2}}{9} - 2 + \frac{9}{x^{2}}}} + \frac{1}{3} - \frac{3}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x3+3x)+∣x3−3x∣)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{x}{3} + \frac{3}{x}\right) + \left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right|\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞((x3+3x)+∣x3−3x∣)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{x}{3} + \frac{3}{x}\right) + \left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right|\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x/3 - 3/x| + x/3 + 3/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x3+3x)+∣x3−3x∣x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{x}{3} + \frac{3}{x}\right) + \left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x3+3x)+∣x3−3x∣x)=23\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{x}{3} + \frac{3}{x}\right) + \left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right|}{x}\right) = \frac{2}{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=2x3y = \frac{2 x}{3}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x3+3x)+∣x3−3x∣=−x3+∣x3−3x∣−3x\left(\frac{x}{3} + \frac{3}{x}\right) + \left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right| = - \frac{x}{3} + \left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right| - \frac{3}{x}
- No
(x3+3x)+∣x3−3x∣=x3−∣x3−3x∣+3x\left(\frac{x}{3} + \frac{3}{x}\right) + \left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right| = \frac{x}{3} - \left|{\frac{x}{3} - \frac{3}{x}}\right| + \frac{3}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = |x/3-3/x|+(x/3+3/x)
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