Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(2)*sqrt(1/(x*(1-x)))

Gráfico de la función y = sqrt(2)*sqrt(1/(x*(1-x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 ___________
         ___    /     1     
f(x) = \/ 2 *  /  --------- 
             \/   x*(1 - x)
f(x)=21x(1−x)f{\left(x \right)} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{x \left(1 - x\right)}} 
f = sqrt(2)*sqrt(1/(x*(1 - x)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
21x(1−x)=0\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{x \left(1 - x\right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(2)*sqrt(1/(x*(1 - x))).
210(1−0)\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{0 \left(1 - 0\right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2(2x−1)1x(1−x)2x(1−x)=0\frac{\sqrt{2} \left(2 x - 1\right) \sqrt{\frac{1}{x \left(1 - x\right)}}}{2 x \left(1 - x\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
          ___ 
(1/2, 2*\/ 2 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2−1x(x−1)(−1+2x−12(x−1)+2x−12x+(2x−1)24x(x−1))x(x−1)=0\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{x \left(x - 1\right)}} \left(-1 + \frac{2 x - 1}{2 \left(x - 1\right)} + \frac{2 x - 1}{2 x} + \frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{4 x \left(x - 1\right)}\right)}{x \left(x - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(21x(1−x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{x \left(1 - x\right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(21x(1−x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{x \left(1 - x\right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(2)*sqrt(1/(x*(1 - x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(21x(1−x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{x \left(1 - x\right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(21x(1−x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{x \left(1 - x\right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
21x(1−x)=2−1x(x+1)\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{x \left(1 - x\right)}} = \sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{x \left(x + 1\right)}}
- No
21x(1−x)=−2−1x(x+1)\sqrt{2} \sqrt{\frac{1}{x \left(1 - x\right)}} = - \sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{x \left(x + 1\right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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