Sr Examen

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Gráfico de la función y = exp((-x)/(3/10))/(2*sqrt(x))-10*sqrt(x)*exp((-x)/(3/10))/3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
         -x                -x  
         ----              ----
         3/10         ___  3/10
        e        10*\/ x *e    
f(x) = ------- - --------------
           ___         3       
       2*\/ x                  
$$f{\left(x \right)} = - \frac{10 \sqrt{x} e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{3} + \frac{e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{2 \sqrt{x}}$$
f = -(10*sqrt(x))*exp((-x)/(3/10))/3 + exp((-x)/(3/10))/((2*sqrt(x)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{10 \sqrt{x} e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{3} + \frac{e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{2 \sqrt{x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{3}{20}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 40.5027472843875$$
$$x_{2} = 36.5059100581707$$
$$x_{3} = 60.4936488807471$$
$$x_{4} = 50.4972206504191$$
$$x_{5} = 98.4869636953104$$
$$x_{6} = 46.4991194021025$$
$$x_{7} = 14.5672390388262$$
$$x_{8} = 12.5894658328402$$
$$x_{9} = 52.4963886141209$$
$$x_{10} = 82.4889907934373$$
$$x_{11} = 44.5002093097189$$
$$x_{12} = 68.4915879460067$$
$$x_{13} = 54.4956224092503$$
$$x_{14} = 78.4896333842274$$
$$x_{15} = 28.5153400472182$$
$$x_{16} = 96.4871787874803$$
$$x_{17} = 0.15$$
$$x_{18} = 90.4878836482673$$
$$x_{19} = 18.5419308469241$$
$$x_{20} = 32.5099616521272$$
$$x_{21} = 104.486369711784$$
$$x_{22} = 88.4881408108687$$
$$x_{23} = 92.4876380914905$$
$$x_{24} = 20.5339943030915$$
$$x_{25} = 102.486559677606$$
$$x_{26} = 58.4942585058514$$
$$x_{27} = 34.5078028063905$$
$$x_{28} = 76.4899812265789$$
$$x_{29} = 38.5042369552107$$
$$x_{30} = 84.4886934094913$$
$$x_{31} = 86.4884104223521$$
$$x_{32} = 106.486187148728$$
$$x_{33} = 74.4903487729766$$
$$x_{34} = 48.4981273958433$$
$$x_{35} = 64.4925503844204$$
$$x_{36} = 16.5524828534401$$
$$x_{37} = 22.5278009571447$$
$$x_{38} = 100.486757505914$$
$$x_{39} = 30.5124471964202$$
$$x_{40} = 56.4949145124845$$
$$x_{41} = 94.4874033719503$$
$$x_{42} = 62.4930808822564$$
$$x_{43} = 70.4911500815597$$
$$x_{44} = 10.6273205308378$$
$$x_{45} = 66.4920537894991$$
$$x_{46} = 24.5228298625248$$
$$x_{47} = 80.4893037020518$$
$$x_{48} = 72.490737747504$$
$$x_{49} = 26.5187498681913$$
$$x_{50} = 42.5014123928481$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp((-x)/(3/10))/((2*sqrt(x))) - (10*sqrt(x))*exp((-x)/(3/10))/3.
$$\frac{e^{\frac{\left(-1\right) 0}{\frac{3}{10}}}}{2 \sqrt{0}} - \frac{10 \sqrt{0} e^{\frac{\left(-1\right) 0}{\frac{3}{10}}}}{3}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{10 \frac{1}{2 \sqrt{x}} e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{3} + \frac{100 \sqrt{x} e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{9} - \frac{5 e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{3 \sqrt{x}} - \frac{e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{20} - \frac{3 \sqrt{2}}{20}$$
$$x_{2} = \frac{3}{20} + \frac{3 \sqrt{2}}{20}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                                                       ___ 
                             ___               ______________    1   \/ 2  
                       1   \/ 2               /          ___   - - + ----- 
                     - - + -----             /  3    3*\/ 2      2     2   
          ___          2     2         10*  /   -- - ------- *e            
 3    3*\/ 2        e                     \/    20      20                 
(-- - -------, --------------------- - -----------------------------------)
 20      20           ______________                    3                  
                     /          ___                                        
                    /  3    3*\/ 2                                         
               2*  /   -- - -------                                        
                 \/    20      20                                          

                                                                       ___ 
                             ___               ______________    1   \/ 2  
                       1   \/ 2               /          ___   - - - ----- 
                     - - - -----             /  3    3*\/ 2      2     2   
          ___          2     2         10*  /   -- + ------- *e            
 3    3*\/ 2        e                     \/    20      20                 
(-- + -------, --------------------- - -----------------------------------)
 20      20           ______________                    3                  
                     /          ___                                        
                    /  3    3*\/ 2                                         
               2*  /   -- + -------                                        
                 \/    20      20                                          


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{20} + \frac{3 \sqrt{2}}{20}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{3}{20} + \frac{3 \sqrt{2}}{20}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{20} + \frac{3 \sqrt{2}}{20}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(- 8000 \sqrt{x} + \frac{3600}{\sqrt{x}} + \frac{540}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{81}{x^{\frac{5}{2}}}\right) e^{- \frac{10 x}{3}}}{216} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{20} + \frac{9}{200 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4000} + \frac{27}{2000}}} + \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4000} + \frac{27}{2000}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(- 8000 \sqrt{x} + \frac{3600}{\sqrt{x}} + \frac{540}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{81}{x^{\frac{5}{2}}}\right) e^{- \frac{10 x}{3}}}{216}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- 8000 \sqrt{x} + \frac{3600}{\sqrt{x}} + \frac{540}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{81}{x^{\frac{5}{2}}}\right) e^{- \frac{10 x}{3}}}{216}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{20} + \frac{9}{200 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4000} + \frac{27}{2000}}} + \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4000} + \frac{27}{2000}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{3}{20} + \frac{9}{200 \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4000} + \frac{27}{2000}}} + \sqrt[3]{\frac{27 \sqrt{2}}{4000} + \frac{27}{2000}}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{10 \sqrt{x} e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{3} + \frac{e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{2 \sqrt{x}}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{10 \sqrt{x} e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{3} + \frac{e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{2 \sqrt{x}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp((-x)/(3/10))/((2*sqrt(x))) - (10*sqrt(x))*exp((-x)/(3/10))/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{10 \sqrt{x} e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{3} + \frac{e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{2 \sqrt{x}}}{x}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{10 \sqrt{x} e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{3} + \frac{e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{2 \sqrt{x}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \frac{10 \sqrt{x} e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{3} + \frac{e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{2 \sqrt{x}} = - \frac{10 \sqrt{- x} e^{\frac{10 x}{3}}}{3} + \frac{e^{\frac{10 x}{3}}}{2 \sqrt{- x}}$$
- No
$$- \frac{10 \sqrt{x} e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{3} + \frac{e^{\frac{\left(-1\right) x}{\frac{3}{10}}}}{2 \sqrt{x}} = \frac{10 \sqrt{- x} e^{\frac{10 x}{3}}}{3} - \frac{e^{\frac{10 x}{3}}}{2 \sqrt{- x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar