Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ x*(sin(pi/x))

Gráfico de la función y = x*(sin(pi/x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /pi\
f(x) = x*sin|--|
            \x /
f(x)=xsin⁡(πx)f{\left(x \right)} = x \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} 
f = x*sin(pi/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xsin⁡(πx)=0x \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=−0.5x_{1} = -0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*sin(pi/x).
0sin⁡(π0)0 \sin{\left(\frac{\pi}{0} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(πx)−πcos⁡(πx)x=0\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} - \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=40752.3171821719x_{1} = 40752.3171821719
x2=36514.493034162x_{2} = 36514.493034162
x3=41599.8868301447x_{3} = 41599.8868301447
x4=−42316.2298420376x_{4} = -42316.2298420376
x5=33124.2700260645x_{5} = 33124.2700260645
x6=39057.1823908182x_{6} = 39057.1823908182
x7=28039.0234837095x_{7} = 28039.0234837095
x8=−20280.2966954216x_{8} = -20280.2966954216
x9=−28755.3331458743x_{9} = -28755.3331458743
x10=−31297.9503613907x_{10} = -31297.9503613907
x11=30581.6309983004x_{11} = 30581.6309983004
x12=−38078.390611237x_{12} = -38078.390611237
x13=33971.8221480687x_{13} = 33971.8221480687
x14=−38925.9552872708x_{14} = -38925.9552872708
x15=22953.9449120481x_{15} = 22953.9449120481
x16=−33840.5969639233x_{16} = -33840.5969639233
x17=39904.7490038284x_{17} = 39904.7490038284
x18=−21127.7639981051x_{18} = -21127.7639981051
x19=−24517.7279386657x_{19} = -24517.7279386657
x20=−27907.8019934859x_{20} = -27907.8019934859
x21=−26212.7538737752x_{21} = -26212.7538737752
x22=38209.6174473397x_{22} = 38209.6174473397
x23=37362.0542870497x_{23} = 37362.0542870497
x24=−34688.1512445134x_{24} = -34688.1512445134
x25=−21975.2418707685x_{25} = -21975.2418707685
x26=−23670.2247807833x_{26} = -23670.2247807833
x27=−25365.2378549918x_{27} = -25365.2378549918
x28=−36383.2667900212x_{28} = -36383.2667900212
x29=31429.1742172955x_{29} = 31429.1742172955
x30=−39773.5216497282x_{30} = -39773.5216497282
x31=22106.4562927658x_{31} = 22106.4562927658
x32=−40621.0895930176x_{32} = -40621.0895930176
x33=−37230.8277368372x_{33} = -37230.8277368372
x34=−27060.2754212728x_{34} = -27060.2754212728
x35=25496.4569159524x_{35} = 25496.4569159524
x36=28886.5553065034x_{36} = 28886.5553065034
x37=−41468.6590201828x_{37} = -41468.6590201828
x38=35666.9338247019x_{38} = 35666.9338247019
x39=26343.9738232498x_{39} = 26343.9738232498
x40=−30450.4076606265x_{40} = -30450.4076606265
x41=−32993.0452507614x_{41} = -32993.0452507614
x42=−32145.4963081903x_{42} = -32145.4963081903
x43=−22822.7291348599x_{43} = -22822.7291348599
x44=29734.0912592147x_{44} = 29734.0912592147
x45=32276.7206419416x_{45} = 32276.7206419416
x46=−35535.7079087597x_{46} = -35535.7079087597
x47=20411.5078808788x_{47} = 20411.5078808788
x48=24648.9460175737x_{48} = 24648.9460175737
x49=−29602.8684848388x_{49} = -29602.8684848388
x50=23801.4417704923x_{50} = 23801.4417704923
x51=21258.9768989439x_{51} = 21258.9768989439
x52=34819.3768079445x_{52} = 34819.3768079445
x53=27191.4961772367x_{53} = 27191.4961772367
x54=42447.4578596894x_{54} = 42447.4578596894
Signos de extremos en los puntos:
(40752.317182171864, 40752.3171821719*sin(2.45384819599283e-5*pi))

(36514.49303416201, 36514.493034162*sin(2.73863859773276e-5*pi))

(41599.886830144715, 41599.8868301447*sin(2.40385269335725e-5*pi))

(-42316.22984203761, 42316.2298420376*sin(2.36315948687514e-5*pi))

(33124.27002606447, 33124.2700260645*sin(3.01893445263286e-5*pi))

(39057.182390818234, 39057.1823908182*sin(2.56034854228267e-5*pi))

(28039.02348370947, 28039.0234837095*sin(3.5664580137072e-5*pi))

(-20280.296695421635, 20280.2966954216*sin(4.93089433068183e-5*pi))

(-28755.33314587433, 28755.3331458743*sin(3.47761576931504e-5*pi))

(-31297.950361390667, 31297.9503613907*sin(3.19509740559115e-5*pi))

(30581.63099830043, 30581.6309983004*sin(3.269936780205e-5*pi))

(-38078.390611236995, 38078.390611237*sin(2.62616141057416e-5*pi))

(33971.82214806872, 33971.8221480687*sin(2.94361602283629e-5*pi))

(-38925.955287270765, 38925.9552872708*sin(2.56897998422922e-5*pi))

(22953.94491204806, 22953.9449120481*sin(4.35654962069339e-5*pi))

(-33840.5969639233, 33840.5969639233*sin(2.95503061327812e-5*pi))

(39904.74900382843, 39904.7490038284*sin(2.5059673972741e-5*pi))

(-21127.76399810513, 21127.7639981051*sin(4.73310853003511e-5*pi))

(-24517.727938665746, 24517.7279386657*sin(4.07868136273324e-5*pi))

(-27907.801993485864, 27907.8019934859*sin(3.5832273721643e-5*pi))

(-26212.75387377522, 26212.7538737752*sin(3.81493682356076e-5*pi))

(38209.61744733968, 38209.6174473397*sin(2.61714214066183e-5*pi))

(37362.054287049716, 37362.0542870497*sin(2.6765123574766e-5*pi))

(-34688.151244513436, 34688.1512445134*sin(2.8828287588782e-5*pi))

(-21975.24187076853, 21975.2418707685*sin(4.5505756245177e-5*pi))

(-23670.224780783272, 23670.2247807833*sin(4.22471695668836e-5*pi))

(-25365.237854991796, 25365.2378549918*sin(3.94240340152459e-5*pi))

(-36383.26679002124, 36383.2667900212*sin(2.74851624998739e-5*pi))

(31429.174217295455, 31429.1742172955*sin(3.18175715685747e-5*pi))

(-39773.521649728194, 39773.5216497282*sin(2.51423549769281e-5*pi))

(22106.456292765764, 22106.4562927658*sin(4.52356536369534e-5*pi))

(-40621.089593017634, 40621.0895930176*sin(2.46177542261666e-5*pi))

(-37230.82773683721, 37230.8277368372*sin(2.68594619240918e-5*pi))

(-27060.275421272778, 27060.2754212728*sin(3.69545388741267e-5*pi))

(25496.456915952414, 25496.4569159524*sin(3.92211358345374e-5*pi))

(28886.555306503415, 28886.5553065034*sin(3.4618180997679e-5*pi))

(-41468.65902018279, 41468.6590201828*sin(2.4114596990303e-5*pi))

(35666.93382470188, 35666.9338247019*sin(2.80371731675861e-5*pi))

(26343.973823249846, 26343.9738232498*sin(3.79593453405823e-5*pi))

(-30450.407660626497, 30450.4076606265*sin(3.28402828344737e-5*pi))

(-32993.04525076136, 32993.0452507614*sin(3.03094180121771e-5*pi))

(-32145.496308190337, 32145.4963081903*sin(3.11085568694489e-5*pi))

(-22822.729134859903, 22822.7291348599*sin(4.38159693387667e-5*pi))

(29734.091259214732, 29734.0912592147*sin(3.36314297041143e-5*pi))

(32276.720641941552, 32276.7206419416*sin(3.09820818258892e-5*pi))

(-35535.70790875974, 35535.7079087597*sin(2.8140708567494e-5*pi))

(20411.50788087885, 20411.5078808788*sin(4.89919708938693e-5*pi))

(24648.94601757374, 24648.9460175737*sin(4.05696859933499e-5*pi))

(-29602.868484838797, 29602.8684848388*sin(3.37805101729298e-5*pi))

(23801.441770492336, 23801.4417704923*sin(4.20142615578752e-5*pi))

(21258.97689894392, 21258.9768989439*sin(4.70389522860659e-5*pi))

(34819.37680794453, 34819.3768079445*sin(2.87196409492268e-5*pi))

(27191.496177236688, 27191.4961772367*sin(3.6776203614612e-5*pi))

(42447.45785968941, 42447.4578596894*sin(2.35585368458463e-5*pi))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=28039.0234837095x_{1} = 28039.0234837095
x2=22953.9449120481x_{2} = 22953.9449120481
x3=−26212.7538737752x_{3} = -26212.7538737752
x4=−32145.4963081903x_{4} = -32145.4963081903
x5=32276.7206419416x_{5} = 32276.7206419416
x6=−35535.7079087597x_{6} = -35535.7079087597
x7=34819.3768079445x_{7} = 34819.3768079445
x8=42447.4578596894x_{8} = 42447.4578596894
Puntos máximos de la función:
x8=41599.8868301447x_{8} = 41599.8868301447
x8=−21975.2418707685x_{8} = -21975.2418707685
x8=−23670.2247807833x_{8} = -23670.2247807833
x8=28886.5553065034x_{8} = 28886.5553065034
x8=−30450.4076606265x_{8} = -30450.4076606265
Decrece en los intervalos
[42447.4578596894,∞)\left[42447.4578596894, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−35535.7079087597]\left(-\infty, -35535.7079087597\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−π2sin⁡(πx)x3=0- \frac{\pi^{2} \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−π2sin⁡(πx)x3)=⟨−∞,∞⟩π2\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{\pi^{2} \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{3}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle \pi^{2}
lim⁡x→0+(−π2sin⁡(πx)x3)=⟨−∞,∞⟩π2\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\pi^{2} \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{3}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle \pi^{2}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Convexa en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xsin⁡(πx))=π\lim_{x \to -\infty}\left(x \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right) = \pi
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=πy = \pi
lim⁡x→∞(xsin⁡(πx))=π\lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right) = \pi
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=πy = \pi
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*sin(pi/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(πx)=0\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞sin⁡(πx)=0\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xsin⁡(πx)=xsin⁡(πx)x \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = x \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}
- Sí
xsin⁡(πx)=−xsin⁡(πx)x \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = - x \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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