Sr Examen

Gráfico de la función y = sqrt(log(cos(x))+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
         _________________
f(x) = \/ log(cos(x)) + 2 
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2}$$
f = sqrt(log(cos(x)) + 2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \operatorname{acos}{\left(e^{-2} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = \operatorname{acos}{\left(e^{-2} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4.84814083156968$$
$$x_{2} = 1.43504447560991$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(log(cos(x)) + 2).
$$\sqrt{\log{\left(\cos{\left(0 \right)} \right)} + 2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \sqrt{2}$$
Punto:
(0, sqrt(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2} \cos{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
      ___ 
(0, \/ 2 )

       __________ 
(pi, \/ 2 + pi*I )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 2 + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}}{4 \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2} = \sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)} + 2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)} + 2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2} = \sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)} + 2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)} + 2}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(log(cos(x)) + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2} = \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2}$$
- Sí
$$\sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2} = - \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2}$$
- No
es decir, función
es
par