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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(log(cos(x))+2)

Gráfico de la función y = sqrt(log(cos(x))+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         _________________
f(x) = \/ log(cos(x)) + 2
f(x)=log⁡(cos⁡(x))+2f{\left(x \right)} = \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2} 
f = sqrt(log(cos(x)) + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(cos⁡(x))+2=0\sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−acos⁡(e−2)+2πx_{1} = - \operatorname{acos}{\left(e^{-2} \right)} + 2 \pi
x2=acos⁡(e−2)x_{2} = \operatorname{acos}{\left(e^{-2} \right)}
Solución numérica
x1=4.84814083156968x_{1} = 4.84814083156968
x2=1.43504447560991x_{2} = 1.43504447560991
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(log(cos(x)) + 2).
log⁡(cos⁡(0))+2\sqrt{\log{\left(\cos{\left(0 \right)} \right)} + 2}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = \sqrt{2}
Punto:
(0, sqrt(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)2log⁡(cos⁡(x))+2cos⁡(x)=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2} \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
      ___ 
(0, \/ 2 )

       __________ 
(pi, \/ 2 + pi*I )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2sin⁡2(x)cos⁡2(x)+2+sin⁡2(x)(log⁡(cos⁡(x))+2)cos⁡2(x)4log⁡(cos⁡(x))+2=0- \frac{\frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 2 + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}}{4 \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(cos⁡(x))+2=log⁡(⟨−1,1⟩)+2\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2} = \sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)} + 2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)+2y = \sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)} + 2}
lim⁡x→∞log⁡(cos⁡(x))+2=log⁡(⟨−1,1⟩)+2\lim_{x \to \infty} \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2} = \sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)} + 2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)+2y = \sqrt{\log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)} + 2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(log(cos(x)) + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(cos⁡(x))+2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(cos⁡(x))+2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(cos⁡(x))+2=log⁡(cos⁡(x))+2\sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2} = \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2}
- Sí
log⁡(cos⁡(x))+2=−log⁡(cos⁡(x))+2\sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2} = - \sqrt{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 2}
- No
es decir, función
es
par
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