Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\left(\log{\left(e^{x} + 2 \right)} + 1 + \frac{3 e^{x}}{e^{x} + 2} + \frac{2}{e^{x} + 2} - \frac{e^{2 x}}{\left(e^{x} + 2\right)^{2}} - \frac{2 e^{x}}{\left(e^{x} + 2\right)^{2}}\right) e^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -28.8717761602113$$
$$x_{2} = -100.872003083$$
$$x_{3} = -108.872003083$$
$$x_{4} = -68.8720030830002$$
$$x_{5} = -32.8719989253245$$
$$x_{6} = -116.872003083$$
$$x_{7} = -38.8720030726943$$
$$x_{8} = -60.8720030830002$$
$$x_{9} = -106.872003083$$
$$x_{10} = -110.872003083$$
$$x_{11} = -36.8720030068492$$
$$x_{12} = -50.8720030830001$$
$$x_{13} = -52.8720030830002$$
$$x_{14} = -42.8720030828114$$
$$x_{15} = -118.872003083$$
$$x_{16} = -82.8720030830002$$
$$x_{17} = -66.8720030830002$$
$$x_{18} = -72.8720030830002$$
$$x_{19} = -92.8720030830002$$
$$x_{20} = -40.8720030816054$$
$$x_{21} = -90.8720030830002$$
$$x_{22} = -114.872003083$$
$$x_{23} = -58.8720030830002$$
$$x_{24} = -80.8720030830002$$
$$x_{25} = -70.8720030830002$$
$$x_{26} = -102.872003083$$
$$x_{27} = -56.8720030830002$$
$$x_{28} = -78.8720030830002$$
$$x_{29} = -86.8720030830002$$
$$x_{30} = -34.8720025203168$$
$$x_{31} = -30.8719723629699$$
$$x_{32} = -74.8720030830002$$
$$x_{33} = -96.8720030830002$$
$$x_{34} = -64.8720030830002$$
$$x_{35} = -62.8720030830002$$
$$x_{36} = -48.8720030829997$$
$$x_{37} = -104.872003083$$
$$x_{38} = -84.8720030830002$$
$$x_{39} = -88.8720030830002$$
$$x_{40} = -46.8720030829967$$
$$x_{41} = -98.8720030830002$$
$$x_{42} = -54.8720030830002$$
$$x_{43} = -94.8720030830002$$
$$x_{44} = -120.872003083$$
$$x_{45} = -76.8720030830002$$
$$x_{46} = -44.8720030829746$$
$$x_{47} = -112.872003083$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico