Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x-6)/(sqrt(x)-sqrt(6))

Gráfico de la función y = (x-6)/(sqrt(x)-sqrt(6))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           x - 6    
f(x) = -------------
         ___     ___
       \/ x  - \/ 6
f(x)=x−6x−6f{\left(x \right)} = \frac{x - 6}{\sqrt{x} - \sqrt{6}} 
f = (x - 6)/(sqrt(x) - sqrt(6))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=6x_{1} = 6
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−6x−6=0\frac{x - 6}{\sqrt{x} - \sqrt{6}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 6)/(sqrt(x) - sqrt(6)).
−6−6+0- \frac{6}{- \sqrt{6} + \sqrt{0}}
Resultado:
f(0)=6f{\left(0 \right)} = \sqrt{6}
Punto:
(0, sqrt(6))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x−6−x−62x(x−6)2=0\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{6}} - \frac{x - 6}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} - \sqrt{6}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x−6)(2x(x−6)+1x32)4−1x(x−6)2=0\frac{\frac{\left(x - 6\right) \left(\frac{2}{x \left(\sqrt{x} - \sqrt{6}\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x} - \sqrt{6}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=6x_{1} = 6
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−6x−6)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 6}{\sqrt{x} - \sqrt{6}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x−6x−6)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 6}{\sqrt{x} - \sqrt{6}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 6)/(sqrt(x) - sqrt(6)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−6x(x−6))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 6}{x \left(\sqrt{x} - \sqrt{6}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x−6x(x−6))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 6}{x \left(\sqrt{x} - \sqrt{6}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−6x−6=−x−6−x−6\frac{x - 6}{\sqrt{x} - \sqrt{6}} = \frac{- x - 6}{\sqrt{- x} - \sqrt{6}}
- No
x−6x−6=−−x−6−x−6\frac{x - 6}{\sqrt{x} - \sqrt{6}} = - \frac{- x - 6}{\sqrt{- x} - \sqrt{6}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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