Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x-1/x-1

Gráfico de la función y = x-1/x-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           1    
f(x) = x - - - 1
           x
f(x)=(x−1x)−1f{\left(x \right)} = \left(x - \frac{1}{x}\right) - 1 
f = x - 1/x - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−1x)−1=0\left(x - \frac{1}{x}\right) - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=12−52x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}
x2=12+52x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
Solución numérica
x1=1.61803398874989x_{1} = 1.61803398874989
x2=−0.618033988749895x_{2} = -0.618033988749895
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x - 1/x - 1.
−1−10-1 - \frac{1}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1+1x2=01 + \frac{1}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2x3=0- \frac{2}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−1x)−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - \frac{1}{x}\right) - 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x−1x)−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - \frac{1}{x}\right) - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x - 1/x - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−1x)−1x)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - \frac{1}{x}\right) - 1}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞((x−1x)−1x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - \frac{1}{x}\right) - 1}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−1x)−1=−x−1+1x\left(x - \frac{1}{x}\right) - 1 = - x - 1 + \frac{1}{x}
- No
(x−1x)−1=x+1−1x\left(x - \frac{1}{x}\right) - 1 = x + 1 - \frac{1}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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