Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(1-(|x|-1)^2)

Gráfico de la función y = sqrt(1-(|x|-1)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ________________
         /              2 
f(x) = \/  1 - (|x| - 1)
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{1 - \left(\left|{x}\right| - 1\right)^{2}}$$ 
f = sqrt(1 - (|x| - 1)^2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{1 - \left(\left|{x}\right| - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(1 - (|x| - 1)^2).
$$\sqrt{1 - \left(-1 + \left|{0}\right|\right)^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\left(\left|{x}\right| - 1\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \left(\left|{x}\right| - 1\right)^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(\left|{x}\right| - 1\right) \delta\left(x\right) + \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)} + \frac{\left(\left|{x}\right| - 1\right)^{2} \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{1 - \left(\left|{x}\right| - 1\right)^{2}}}{\sqrt{1 - \left(\left|{x}\right| - 1\right)^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{1 - \left(\left|{x}\right| - 1\right)^{2}} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{1 - \left(\left|{x}\right| - 1\right)^{2}} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(1 - (|x| - 1)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{1 - \left(\left|{x}\right| - 1\right)^{2}}}{x}\right) = - i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{1 - \left(\left|{x}\right| - 1\right)^{2}}}{x}\right) = i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = i x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{1 - \left(\left|{x}\right| - 1\right)^{2}} = \sqrt{1 - \left(\left|{x}\right| - 1\right)^{2}}$$
- Sí
$$\sqrt{1 - \left(\left|{x}\right| - 1\right)^{2}} = - \sqrt{1 - \left(\left|{x}\right| - 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par
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