Sr Examen

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|cosx+0.5|
Trazado el gráfico de la función/ |cosx+0.5|

Gráfico de la función y = |cosx+0.5|

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = |cos(x) + 1/2|
f(x)=∣cos⁡(x)+12∣f{\left(x \right)} = \left|{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}\right| 
f = Abs(cos(x) + 1/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣cos⁡(x)+12∣=0\left|{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}
Solución numérica
x1=−79.5870138909414x_{1} = -79.5870138909414
x2=27.2271363311115x_{2} = 27.2271363311115
x3=−39.7935069454707x_{3} = -39.7935069454707
x4=79.5870138909414x_{4} = 79.5870138909414
x5=20.943951023932x_{5} = 20.943951023932
x6=−14.6607657167524x_{6} = -14.6607657167524
x7=48.1710873550435x_{7} = 48.1710873550435
x8=−92.1533845053006x_{8} = -92.1533845053006
x9=23.0383461263252x_{9} = 23.0383461263252
x10=−2.0943951023932x_{10} = -2.0943951023932
x11=−46.0766922526503x_{11} = -46.0766922526503
x12=29.3215314335047x_{12} = 29.3215314335047
x13=−4.18879020478639x_{13} = -4.18879020478639
x14=−54.4542726622231x_{14} = -54.4542726622231
x15=−98.4365698124802x_{15} = -98.4365698124802
x16=−121.474915938805x_{16} = -121.474915938805
x17=73.3038285837618x_{17} = 73.3038285837618
x18=67.0206432765823x_{18} = 67.0206432765823
x19=−64.9262481741891x_{19} = -64.9262481741891
x20=83.7758040957278x_{20} = 83.7758040957278
x21=−77.4926187885482x_{21} = -77.4926187885482
x22=41.8879020478639x_{22} = 41.8879020478639
x23=−52.3598775598299x_{23} = -52.3598775598299
x24=−90.0589894029074x_{24} = -90.0589894029074
x25=−33.5103216382911x_{25} = -33.5103216382911
x26=96.342174710087x_{26} = 96.342174710087
x27=−96.342174710087x_{27} = -96.342174710087
x28=−71.2094334813686x_{28} = -71.2094334813686
x29=−41.8879020478639x_{29} = -41.8879020478639
x30=2609.61629758192x_{30} = 2609.61629758192
x31=−58.6430628670095x_{31} = -58.6430628670095
x32=54.4542726622231x_{32} = 54.4542726622231
x33=4.18879020478639x_{33} = 4.18879020478639
x34=−29.3215314335047x_{34} = -29.3215314335047
x35=14.6607657167524x_{35} = 14.6607657167524
x36=64.9262481741891x_{36} = 64.9262481741891
x37=39.7935069454707x_{37} = 39.7935069454707
x38=85.870199198121x_{38} = 85.870199198121
x39=−8.37758040957278x_{39} = -8.37758040957278
x40=−83.7758040957278x_{40} = -83.7758040957278
x41=−20.943951023932x_{41} = -20.943951023932
x42=−60.7374579694027x_{42} = -60.7374579694027
x43=−67.0206432765823x_{43} = -67.0206432765823
x44=58.6430628670095x_{44} = 58.6430628670095
x45=98.4365698124802x_{45} = 98.4365698124802
x46=52.3598775598299x_{46} = 52.3598775598299
x47=92.1533845053006x_{47} = 92.1533845053006
x48=71.2094334813686x_{48} = 71.2094334813686
x49=35.6047167406843x_{49} = 35.6047167406843
x50=−16.7551608191456x_{50} = -16.7551608191456
x51=−10.471975511966x_{51} = -10.471975511966
x52=−23.0383461263252x_{52} = -23.0383461263252
x53=−73.3038285837618x_{53} = -73.3038285837618
x54=−35.6047167406843x_{54} = -35.6047167406843
x55=8.37758040957278x_{55} = 8.37758040957278
x56=−48.1710873550435x_{56} = -48.1710873550435
x57=10.471975511966x_{57} = 10.471975511966
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)sign⁡(cos⁡(x)+12)=0- \sin{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 3/2)

(pi, 1/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2sin⁡2(x)δ(cos⁡(x)+12)−cos⁡(x)sign⁡(cos⁡(x)+12)=02 \sin^{2}{\left(x \right)} \delta\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right) - \cos{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞∣cos⁡(x)+12∣=∣⟨−12,32⟩∣\lim_{x \to -\infty} \left|{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}\right| = \left|{\left\langle - \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle}\right|
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∣⟨−12,32⟩∣y = \left|{\left\langle - \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle}\right|
lim⁡x→∞∣cos⁡(x)+12∣=∣⟨−12,32⟩∣\lim_{x \to \infty} \left|{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}\right| = \left|{\left\langle - \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle}\right|
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=∣⟨−12,32⟩∣y = \left|{\left\langle - \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle}\right|
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(cos(x) + 1/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣cos⁡(x)+12∣x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(∣cos⁡(x)+12∣x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣cos⁡(x)+12∣=∣cos⁡(x)+12∣\left|{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}\right| = \left|{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}\right|
- Sí
∣cos⁡(x)+12∣=−∣cos⁡(x)+12∣\left|{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}\right| = - \left|{\cos{\left(x \right)} + \frac{1}{2}}\right|
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = |cosx+0.5|
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