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Trazado el gráfico de la función/ cos(sqrt(x+5)))/(atan(x*i)+1

Gráfico de la función y = cos(sqrt(x+5)))/(atan(x*i)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /  _______\
f(x) = cos\\/ x + 5 /
f(x)=cos⁡(x+5)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt{x + 5} \right)} 
f = cos(sqrt(x + 5))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x+5)=0\cos{\left(\sqrt{x + 5} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−5+π24x_{1} = -5 + \frac{\pi^{2}}{4}
x2=−5+9π24x_{2} = -5 + \frac{9 \pi^{2}}{4}
Solución numérica
x1=293.555533132953x_{1} = 293.555533132953
x2=1537.12568767021x_{2} = 1537.12568767021
x3=−2.53259889972766x_{3} = -2.53259889972766
x4=56.6850275068085x_{4} = 56.6850275068085
x5=411.990785946025x_{5} = 411.990785946025
x6=115.902653913345x_{6} = 115.902653913345
x7=17.2066099024511x_{7} = 17.2066099024511
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(sqrt(x + 5)).
cos⁡(5)\cos{\left(\sqrt{5} \right)}
Resultado:
f(0)=cos⁡(5)f{\left(0 \right)} = \cos{\left(\sqrt{5} \right)}
Punto:
(0, cos(sqrt(5)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x+5)2x+5=0- \frac{\sin{\left(\sqrt{x + 5} \right)}}{2 \sqrt{x + 5}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5+π2x_{1} = -5 + \pi^{2}
Signos de extremos en los puntos:
        2     
(-5 + pi, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−5+π2x_{1} = -5 + \pi^{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−5+π2,∞)\left[-5 + \pi^{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−5+π2]\left(-\infty, -5 + \pi^{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x+5)x+5+sin⁡(x+5)(x+5)324=0\frac{- \frac{\cos{\left(\sqrt{x + 5} \right)}}{x + 5} + \frac{\sin{\left(\sqrt{x + 5} \right)}}{\left(x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4140.70116916874x_{1} = 4140.70116916874
x2=113.899869163626x_{2} = 113.899869163626
x3=291.554412135731x_{3} = 291.554412135731
x4=54.6795159441094x_{4} = 54.6795159441094
x5=548.164645838089x_{5} = 548.164645838089
x6=883.731422469171x_{6} = 883.731422469171
x7=15.1907285564266x_{7} = 15.1907285564266

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,15.1907285564266]∪[54.6795159441094,∞)\left(-\infty, 15.1907285564266\right] \cup \left[54.6795159441094, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,54.6795159441094]∪[883.731422469171,∞)\left(-\infty, 54.6795159441094\right] \cup \left[883.731422469171, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(x+5)=∞\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\sqrt{x + 5} \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞cos⁡(x+5)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\sqrt{x + 5} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(sqrt(x + 5)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cos⁡(x+5)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\sqrt{x + 5} \right)}}{x}\right)
lim⁡x→∞(cos⁡(x+5)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\sqrt{x + 5} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x+5)=cos⁡(5−x)\cos{\left(\sqrt{x + 5} \right)} = \cos{\left(\sqrt{5 - x} \right)}
- No
cos⁡(x+5)=−cos⁡(5−x)\cos{\left(\sqrt{x + 5} \right)} = - \cos{\left(\sqrt{5 - x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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