Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{- \frac{x \left(2 x + \frac{1}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right)}{x^{2} + 1} + 2}{\left(x^{2} + 1\right) \operatorname{atan}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 23230.024004552$$
$$x_{2} = 7167.2354620335$$
$$x_{3} = 36785.7126288471$$
$$x_{4} = -15478.8197012543$$
$$x_{5} = 34243.649370143$$
$$x_{6} = 18149.0816677683$$
$$x_{7} = -29875.9909139865$$
$$x_{8} = 42717.5488462566$$
$$x_{9} = -11250.8616253629$$
$$x_{10} = 9693.10193650276$$
$$x_{11} = -33265.1318463999$$
$$x_{12} = -18018.0057264033$$
$$x_{13} = -23098.8841994312$$
$$x_{14} = 8007.80313807833$$
$$x_{15} = -28181.5398429727$$
$$x_{16} = 25771.2167319068$$
$$x_{17} = 35938.3460880304$$
$$x_{18} = 38480.4779619115$$
$$x_{19} = 26618.3524715985$$
$$x_{20} = 20689.2500969357$$
$$x_{21} = -13786.8329402522$$
$$x_{22} = -12095.8351865752$$
$$x_{23} = 39327.8753275521$$
$$x_{24} = 31701.7102656076$$
$$x_{25} = 41022.6963438243$$
$$x_{26} = 11381.6615466408$$
$$x_{27} = 29159.9289611697$$
$$x_{28} = -38349.2776146624$$
$$x_{29} = 37633.0901689145$$
$$x_{30} = 41870.1189041515$$
$$x_{31} = 35090.9913670332$$
$$x_{32} = 17302.542491929$$
$$x_{33} = -21404.9948702379$$
$$x_{34} = -30723.2488528237$$
$$x_{35} = -34112.4579108891$$
$$x_{36} = -22251.9132074708$$
$$x_{37} = 13072.0980035978$$
$$x_{38} = 40175.2816444387$$
$$x_{39} = 24077.048555564$$
$$x_{40} = -26487.189557406$$
$$x_{41} = -17171.4834086717$$
$$x_{42} = 30007.1692999306$$
$$x_{43} = -2.33112237041442$$
$$x_{44} = -20558.1360436213$$
$$x_{45} = -24792.9616156613$$
$$x_{46} = -39196.6735475476$$
$$x_{47} = -42586.3421831168$$
$$x_{48} = -40044.0785238142$$
$$x_{49} = 12226.698693816$$
$$x_{50} = 8849.91095105935$$
$$x_{51} = -31570.5259971979$$
$$x_{52} = -32417.8207922022$$
$$x_{53} = -37501.8913551979$$
$$x_{54} = 32549.0076519436$$
$$x_{55} = -35807.1506836181$$
$$x_{56} = -7037.26362170559$$
$$x_{57} = 27465.5182312612$$
$$x_{58} = 21536.1185810074$$
$$x_{59} = -12941.1839661986$$
$$x_{60} = 22383.0454455925$$
$$x_{61} = 13917.7877997787$$
$$x_{62} = -10406.3656388881$$
$$x_{63} = -41738.9133485496$$
$$x_{64} = -16325.0810229119$$
$$x_{65} = 30854.430305527$$
$$x_{66} = -25640.058714171$$
$$x_{67} = -19711.3448284427$$
$$x_{68} = -8719.44409149685$$
$$x_{69} = 19842.4478851941$$
$$x_{70} = 15609.835771182$$
$$x_{71} = -23945.9020047737$$
$$x_{72} = -7877.53782198138$$
$$x_{73} = 18995.7213280503$$
$$x_{74} = -40891.4919669806$$
$$x_{75} = -14632.7258559082$$
$$x_{76} = 28312.7112143158$$
$$x_{77} = 14763.7141682514$$
$$x_{78} = 2.33112237041442$$
$$x_{79} = -27334.3508848309$$
$$x_{80} = -18864.6308666567$$
$$x_{81} = 16456.1203792091$$
$$x_{82} = 24924.1142055314$$
$$x_{83} = 10537.0839889211$$
$$x_{84} = -29028.753923803$$
$$x_{85} = -9562.49064635093$$
$$x_{86} = -36654.5154591195$$
$$x_{87} = 33396.3210963241$$
$$x_{88} = -34959.7978615038$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[41870.1189041515, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 7167.2354620335\right]$$