Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-x^3
-
x^4-2x^2
-
1-x^3
-
x^2/(x-3)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(tres)*sin(dos *x/ tres)+cos(dos *x/ tres)
- raíz cuadrada de (3) multiplicar por seno de (2 multiplicar por x dividir por 3) más coseno de (2 multiplicar por x dividir por 3)
- raíz cuadrada de (tres) multiplicar por seno de (dos multiplicar por x dividir por tres) más coseno de (dos multiplicar por x dividir por tres)
- √(3)*sin(2*x/3)+cos(2*x/3)
- sqrt(3)sin(2x/3)+cos(2x/3)
- sqrt3sin2x/3+cos2x/3
- sqrt(3)*sin(2*x dividir por 3)+cos(2*x dividir por 3)
-
Expresiones semejantes
- sqrt(3)*sin(2*x/3)-cos(2*x/3)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(9-y^2)
- sqrt(x)+18
- sqrt(1+x^2)
- sqrt(x^2+1)
- sqrt(x)-5
- Seno sin
- sin(x)-3
- sinx/(2+cosx)
- sin(x)*cos(x)+x
- sin(x)+(x/2)
- sin(x^6)
- Coseno cos
- cos^2(x)-cos(x)
- cos(0.5x)-1
- cosx-x
- cos(x)*2
- cos(x)/9
Gráfico de la función y = sqrt(3)*sin(2*x/3)+cos(2*x/3)
Solución
Ha introducido
[src]
___ /2*x\ /2*x\
f(x) = \/ 3 *sin|---| + cos|---|
\ 3 / \ 3 /
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$$
f = sqrt(3)*sin((2*x)/3) + cos((2*x)/3)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 93.4623814442964$$
$$x_{2} = 51.0508806208341$$
$$x_{3} = -66.7588438887831$$
$$x_{4} = 55.7632696012188$$
$$x_{5} = 22.776546738526$$
$$x_{6} = 3.92699081698724$$
$$x_{7} = -43.1968989868597$$
$$x_{8} = -33.7721210260903$$
$$x_{9} = -47.9092879672443$$
$$x_{10} = 46.3384916404494$$
$$x_{11} = -302.378292908018$$
$$x_{12} = 36.9137136796801$$
$$x_{13} = -76.1836218495525$$
$$x_{14} = 13.3517687777566$$
$$x_{15} = -29.0597320457056$$
$$x_{16} = 60.4756585816035$$
$$x_{17} = -99.7455667514759$$
$$x_{18} = -10.2101761241668$$
$$x_{19} = 74.6128255227576$$
$$x_{20} = -80.8960108299372$$
$$x_{21} = -57.3340659280137$$
$$x_{22} = -62.0464549083984$$
$$x_{23} = -0.785398163397448$$
$$x_{24} = -85.6083998103219$$
$$x_{25} = 69.9004365423729$$
$$x_{26} = 65.1880475619882$$
$$x_{27} = 8.63937979737193$$
$$x_{28} = 102.887159405066$$
$$x_{29} = -14.9225651045515$$
$$x_{30} = 47386.998188585$$
$$x_{31} = 32.2013246992954$$
$$x_{32} = 18.0641577581413$$
$$x_{33} = -95.0331777710912$$
$$x_{34} = 98.174770424681$$
$$x_{35} = 41.6261026600648$$
$$x_{36} = -19.6349540849362$$
$$x_{37} = 84.037603483527$$
$$x_{38} = 88.7499924639117$$
$$x_{39} = -24.3473430653209$$
$$x_{40} = 27.4889357189107$$
$$x_{41} = 112.311937365835$$
$$x_{42} = -52.621676947629$$
$$x_{43} = -90.3207887907066$$
$$x_{44} = -5.49778714378214$$
$$x_{45} = 17331.3812716915$$
$$x_{46} = 79.3252145031423$$
$$x_{47} = -38.484510006475$$
$$x_{48} = -71.4712328691678$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 93.4623814442964$$
$$x_{2} = 51.0508806208341$$
$$x_{3} = -66.7588438887831$$
$$x_{4} = 55.7632696012188$$
$$x_{5} = 22.776546738526$$
$$x_{6} = 3.92699081698724$$
$$x_{7} = -43.1968989868597$$
$$x_{8} = -33.7721210260903$$
$$x_{9} = -47.9092879672443$$
$$x_{10} = 46.3384916404494$$
$$x_{11} = -302.378292908018$$
$$x_{12} = 36.9137136796801$$
$$x_{13} = -76.1836218495525$$
$$x_{14} = 13.3517687777566$$
$$x_{15} = -29.0597320457056$$
$$x_{16} = 60.4756585816035$$
$$x_{17} = -99.7455667514759$$
$$x_{18} = -10.2101761241668$$
$$x_{19} = 74.6128255227576$$
$$x_{20} = -80.8960108299372$$
$$x_{21} = -57.3340659280137$$
$$x_{22} = -62.0464549083984$$
$$x_{23} = -0.785398163397448$$
$$x_{24} = -85.6083998103219$$
$$x_{25} = 69.9004365423729$$
$$x_{26} = 65.1880475619882$$
$$x_{27} = 8.63937979737193$$
$$x_{28} = 102.887159405066$$
$$x_{29} = -14.9225651045515$$
$$x_{30} = 47386.998188585$$
$$x_{31} = 32.2013246992954$$
$$x_{32} = 18.0641577581413$$
$$x_{33} = -95.0331777710912$$
$$x_{34} = 98.174770424681$$
$$x_{35} = 41.6261026600648$$
$$x_{36} = -19.6349540849362$$
$$x_{37} = 84.037603483527$$
$$x_{38} = 88.7499924639117$$
$$x_{39} = -24.3473430653209$$
$$x_{40} = 27.4889357189107$$
$$x_{41} = 112.311937365835$$
$$x_{42} = -52.621676947629$$
$$x_{43} = -90.3207887907066$$
$$x_{44} = -5.49778714378214$$
$$x_{45} = 17331.3812716915$$
$$x_{46} = 79.3252145031423$$
$$x_{47} = -38.484510006475$$
$$x_{48} = -71.4712328691678$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
pi (--, 2) 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{4 \left(\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\right)}{9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{4 \left(\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\right)}{9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(3)*sin((2*x)/3) + cos((2*x)/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = - \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$$
- No
$$\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} - \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = - \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$$
- No
$$\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} - \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar