Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(3)*sin(2*x/3)+cos(2*x/3)

Gráfico de la función y = sqrt(3)*sin(2*x/3)+cos(2*x/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___    /2*x\      /2*x\
f(x) = \/ 3 *sin|---| + cos|---|
                \ 3 /      \ 3 /
f(x)=3sin⁡(2x3)+cos⁡(2x3)f{\left(x \right)} = \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} 
f = sqrt(3)*sin((2*x)/3) + cos((2*x)/3)
Gráfico de la función
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.05-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3sin⁡(2x3)+cos⁡(2x3)=0\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Solución numérica
x1=93.4623814442964x_{1} = 93.4623814442964
x2=51.0508806208341x_{2} = 51.0508806208341
x3=−66.7588438887831x_{3} = -66.7588438887831
x4=55.7632696012188x_{4} = 55.7632696012188
x5=22.776546738526x_{5} = 22.776546738526
x6=3.92699081698724x_{6} = 3.92699081698724
x7=−43.1968989868597x_{7} = -43.1968989868597
x8=−33.7721210260903x_{8} = -33.7721210260903
x9=−47.9092879672443x_{9} = -47.9092879672443
x10=46.3384916404494x_{10} = 46.3384916404494
x11=−302.378292908018x_{11} = -302.378292908018
x12=36.9137136796801x_{12} = 36.9137136796801
x13=−76.1836218495525x_{13} = -76.1836218495525
x14=13.3517687777566x_{14} = 13.3517687777566
x15=−29.0597320457056x_{15} = -29.0597320457056
x16=60.4756585816035x_{16} = 60.4756585816035
x17=−99.7455667514759x_{17} = -99.7455667514759
x18=−10.2101761241668x_{18} = -10.2101761241668
x19=74.6128255227576x_{19} = 74.6128255227576
x20=−80.8960108299372x_{20} = -80.8960108299372
x21=−57.3340659280137x_{21} = -57.3340659280137
x22=−62.0464549083984x_{22} = -62.0464549083984
x23=−0.785398163397448x_{23} = -0.785398163397448
x24=−85.6083998103219x_{24} = -85.6083998103219
x25=69.9004365423729x_{25} = 69.9004365423729
x26=65.1880475619882x_{26} = 65.1880475619882
x27=8.63937979737193x_{27} = 8.63937979737193
x28=102.887159405066x_{28} = 102.887159405066
x29=−14.9225651045515x_{29} = -14.9225651045515
x30=47386.998188585x_{30} = 47386.998188585
x31=32.2013246992954x_{31} = 32.2013246992954
x32=18.0641577581413x_{32} = 18.0641577581413
x33=−95.0331777710912x_{33} = -95.0331777710912
x34=98.174770424681x_{34} = 98.174770424681
x35=41.6261026600648x_{35} = 41.6261026600648
x36=−19.6349540849362x_{36} = -19.6349540849362
x37=84.037603483527x_{37} = 84.037603483527
x38=88.7499924639117x_{38} = 88.7499924639117
x39=−24.3473430653209x_{39} = -24.3473430653209
x40=27.4889357189107x_{40} = 27.4889357189107
x41=112.311937365835x_{41} = 112.311937365835
x42=−52.621676947629x_{42} = -52.621676947629
x43=−90.3207887907066x_{43} = -90.3207887907066
x44=−5.49778714378214x_{44} = -5.49778714378214
x45=17331.3812716915x_{45} = 17331.3812716915
x46=79.3252145031423x_{46} = 79.3252145031423
x47=−38.484510006475x_{47} = -38.484510006475
x48=−71.4712328691678x_{48} = -71.4712328691678
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(3)*sin((2*x)/3) + cos((2*x)/3).
3sin⁡(0⋅23)+cos⁡(0⋅23)\sqrt{3} \sin{\left(\frac{0 \cdot 2}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{0 \cdot 2}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(2x3)3+23cos⁡(2x3)3=0- \frac{2 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    
(--, 2)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4(3sin⁡(2x3)+cos⁡(2x3))9=0- \frac{4 \left(\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\right)}{9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]
Convexa en los intervalos
[−π4,∞)\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(2x3)+cos⁡(2x3))=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(3sin⁡(2x3)+cos⁡(2x3))=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(3)*sin((2*x)/3) + cos((2*x)/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(2x3)+cos⁡(2x3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3sin⁡(2x3)+cos⁡(2x3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3sin⁡(2x3)+cos⁡(2x3)=−3sin⁡(2x3)+cos⁡(2x3)\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = - \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}
- No
3sin⁡(2x3)+cos⁡(2x3)=3sin⁡(2x3)−cos⁡(2x3)\sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} + \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)} = \sqrt{3} \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)} - \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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