Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-x^3
-
x^4-2x^2
-
1-x^3
-
x^2/(x-3)
-
Expresiones idénticas
- x*sin((nueve *pi)/x)
- x multiplicar por seno de ((9 multiplicar por número pi ) dividir por x)
- x multiplicar por seno de ((nueve multiplicar por número pi ) dividir por x)
- xsin((9pi)/x)
- xsin9pi/x
- x*sin((9*pi) dividir por x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)-3
- sinx/(2+cosx)
- sin(x^6)
- sin(x)+sqrt(3)*cos(x)
- sin(x)*e^3
- Número Pi pi
- pi+x-1
- pi-asin(1/tanh(1+x))
- pi/2-4/pi*cos(x)-4/pi*cos(3x)-4/pi*cos(5x)-4/pi*cos(7x)-4/pi*cos(9x)
- pi-2*x
- pi*n/4
Gráfico de la función y = x*sin((9*pi)/x)
Solución
Ha introducido
[src]
/9*pi\
f(x) = x*sin|----|
\ x /
$$f{\left(x \right)} = x \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)}$$
f = x*sin((9*pi)/x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = - \frac{9}{2}$$
$$x_{3} = -3$$
$$x_{4} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{5} = 1$$
$$x_{6} = \frac{9}{8}$$
$$x_{7} = \frac{9}{7}$$
$$x_{8} = \frac{3}{2}$$
$$x_{9} = 3$$
$$x_{10} = \frac{9}{2}$$
$$x_{11} = 9$$
$$x_{12} = \frac{i \pi}{\log{\left(- \sqrt[9]{-1} \right)}}$$
$$x_{13} = \frac{i \pi}{\log{\left(- \left(-1\right)^{\frac{2}{9}} \right)}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = -4.5$$
$$x_{3} = -3$$
$$x_{4} = -1.5$$
$$x_{5} = 1$$
$$x_{6} = 1.125$$
$$x_{7} = 1.28571428571429$$
$$x_{8} = 1.5$$
$$x_{9} = 3$$
$$x_{10} = 4.5$$
$$x_{11} = 9$$
$$x_{12} = -1.125$$
$$x_{13} = -1.28571428571429$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = - \frac{9}{2}$$
$$x_{3} = -3$$
$$x_{4} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{5} = 1$$
$$x_{6} = \frac{9}{8}$$
$$x_{7} = \frac{9}{7}$$
$$x_{8} = \frac{3}{2}$$
$$x_{9} = 3$$
$$x_{10} = \frac{9}{2}$$
$$x_{11} = 9$$
$$x_{12} = \frac{i \pi}{\log{\left(- \sqrt[9]{-1} \right)}}$$
$$x_{13} = \frac{i \pi}{\log{\left(- \left(-1\right)^{\frac{2}{9}} \right)}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = -4.5$$
$$x_{3} = -3$$
$$x_{4} = -1.5$$
$$x_{5} = 1$$
$$x_{6} = 1.125$$
$$x_{7} = 1.28571428571429$$
$$x_{8} = 1.5$$
$$x_{9} = 3$$
$$x_{10} = 4.5$$
$$x_{11} = 9$$
$$x_{12} = -1.125$$
$$x_{13} = -1.28571428571429$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)} - \frac{9 \pi \cos{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3.65998862938248$$
$$x_{2} = 3.65998862938248$$
$$x_{3} = -6.29240093678557$$
$$x_{4} = 6.29240093678557$$
$$x_{5} = -2.01009129104325$$
$$x_{6} = 2.01009129104325$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -6.29240093678557$$
$$x_{2} = 6.29240093678557$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = -3.65998862938248$$
$$x_{2} = 3.65998862938248$$
$$x_{2} = -2.01009129104325$$
$$x_{2} = 2.01009129104325$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-6.29240093678557, -3.65998862938248\right] \cup \left[6.29240093678557, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -6.29240093678557\right] \cup \left[3.65998862938248, 6.29240093678557\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)} - \frac{9 \pi \cos{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3.65998862938248$$
$$x_{2} = 3.65998862938248$$
$$x_{3} = -6.29240093678557$$
$$x_{4} = 6.29240093678557$$
$$x_{5} = -2.01009129104325$$
$$x_{6} = 2.01009129104325$$
Signos de extremos en los puntos:
(-3.659988629382482, 3.65998862938248*sin(0.459024032956762*pi))
(3.659988629382482, 3.65998862938248*sin(0.459024032956762*pi))
(-6.292400936785571, 6.29240093678557*sin(1.4302966531242*pi))
(6.292400936785571, 6.29240093678557*sin(1.4302966531242*pi))
(-2.0100912910432513, 2.01009129104325*sin(0.477408583432515*pi))
(2.0100912910432513, 2.01009129104325*sin(0.477408583432515*pi))
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -6.29240093678557$$
$$x_{2} = 6.29240093678557$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = -3.65998862938248$$
$$x_{2} = 3.65998862938248$$
$$x_{2} = -2.01009129104325$$
$$x_{2} = 2.01009129104325$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-6.29240093678557, -3.65998862938248\right] \cup \left[6.29240093678557, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -6.29240093678557\right] \cup \left[3.65998862938248, 6.29240093678557\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{81 \pi^{2} \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 9$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{81 \pi^{2} \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)}}{x^{3}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle \pi^{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{81 \pi^{2} \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)}}{x^{3}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle \pi^{2}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 9\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[9, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{81 \pi^{2} \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 9$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{81 \pi^{2} \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)}}{x^{3}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle \pi^{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{81 \pi^{2} \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)}}{x^{3}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle \pi^{2}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 9\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[9, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)}\right) = 9 \pi$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 9 \pi$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)}\right) = 9 \pi$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 9 \pi$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)}\right) = 9 \pi$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 9 \pi$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)}\right) = 9 \pi$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 9 \pi$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*sin((9*pi)/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)} = x \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)}$$
- No
$$x \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)} = - x \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$x \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)} = x \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)}$$
- No
$$x \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)} = - x \sin{\left(\frac{9 \pi}{x} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar