Sr Examen

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sin(x)+sqrt(3)*cos(x)
Trazado el gráfico de la función/ sin(x)+sqrt(3)*cos(x)

Gráfico de la función y = sin(x)+sqrt(3)*cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  ___       
f(x) = sin(x) + \/ 3 *cos(x)
f(x)=sin⁡(x)+3cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)} 
f = sin(x) + sqrt(3)*cos(x)
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)+3cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
Solución numérica
x1=−79.5870138909414x_{1} = -79.5870138909414
x2=86.9173967493176x_{2} = 86.9173967493176
x3=27.2271363311115x_{3} = 27.2271363311115
x4=11.5191730631626x_{4} = 11.5191730631626
x5=80.634211442138x_{5} = 80.634211442138
x6=20.943951023932x_{6} = 20.943951023932
x7=−63.8790506229925x_{7} = -63.8790506229925
x8=−26.1799387799149x_{8} = -26.1799387799149
x9=33.5103216382911x_{9} = 33.5103216382911
x10=−45.0294947014537x_{10} = -45.0294947014537
x11=−7.33038285837618x_{11} = -7.33038285837618
x12=−92.1533845053006x_{12} = -92.1533845053006
x13=2.0943951023932x_{13} = 2.0943951023932
x14=74.3510261349584x_{14} = 74.3510261349584
x15=−13.6135681655558x_{15} = -13.6135681655558
x16=−4.18879020478639x_{16} = -4.18879020478639
x17=−54.4542726622231x_{17} = -54.4542726622231
x18=−98.4365698124802x_{18} = -98.4365698124802
x19=−154.985237577096x_{19} = -154.985237577096
x20=7114.66016282968x_{20} = 7114.66016282968
x21=24.0855436775217x_{21} = 24.0855436775217
x22=42.9350995990605x_{22} = 42.9350995990605
x23=−32.4631240870945x_{23} = -32.4631240870945
x24=83.7758040957278x_{24} = 83.7758040957278
x25=93.2005820564972x_{25} = 93.2005820564972
x26=−82.7286065445312x_{26} = -82.7286065445312
x27=68.0678408277789x_{27} = 68.0678408277789
x28=77.4926187885482x_{28} = 77.4926187885482
x29=55.5014702134197x_{29} = 55.5014702134197
x30=96.342174710087x_{30} = 96.342174710087
x31=−51.3126800086333x_{31} = -51.3126800086333
x32=99.4837673636768x_{32} = 99.4837673636768
x33=49.2182849062401x_{33} = 49.2182849062401
x34=−41.8879020478639x_{34} = -41.8879020478639
x35=90.0589894029074x_{35} = 90.0589894029074
x36=−57.5958653158129x_{36} = -57.5958653158129
x37=−29.3215314335047x_{37} = -29.3215314335047
x38=102.625360017267x_{38} = 102.625360017267
x39=14.6607657167524x_{39} = 14.6607657167524
x40=30.3687289847013x_{40} = 30.3687289847013
x41=−76.4454212373516x_{41} = -76.4454212373516
x42=39.7935069454707x_{42} = 39.7935069454707
x43=36.6519142918809x_{43} = 36.6519142918809
x44=−19.8967534727354x_{44} = -19.8967534727354
x45=64.9262481741891x_{45} = 64.9262481741891
x46=5.23598775598299x_{46} = 5.23598775598299
x47=−60.7374579694027x_{47} = -60.7374579694027
x48=−67.0206432765823x_{48} = -67.0206432765823
x49=58.6430628670095x_{49} = 58.6430628670095
x50=−70.162235930172x_{50} = -70.162235930172
x51=−95.2949771588904x_{51} = -95.2949771588904
x52=52.3598775598299x_{52} = 52.3598775598299
x53=61.7846555205993x_{53} = 61.7846555205993
x54=17.8023583703422x_{54} = 17.8023583703422
x55=−1.0471975511966x_{55} = -1.0471975511966
x56=−89.0117918517108x_{56} = -89.0117918517108
x57=−85.870199198121x_{57} = -85.870199198121
x58=71.2094334813686x_{58} = 71.2094334813686
x59=−16.7551608191456x_{59} = -16.7551608191456
x60=−10.471975511966x_{60} = -10.471975511966
x61=−23.0383461263252x_{61} = -23.0383461263252
x62=−73.3038285837618x_{62} = -73.3038285837618
x63=−38.7463093942741x_{63} = -38.7463093942741
x64=−35.6047167406843x_{64} = -35.6047167406843
x65=8.37758040957278x_{65} = 8.37758040957278
x66=−48.1710873550435x_{66} = -48.1710873550435
x67=46.0766922526503x_{67} = 46.0766922526503
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) + sqrt(3)*cos(x).
sin⁡(0)+3cos⁡(0)\sin{\left(0 \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}
Punto:
(0, sqrt(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(x)+cos⁡(x)=0- \sqrt{3} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    
(--, 2)
 6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
Decrece en los intervalos
(−∞,π6]\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right]
Crece en los intervalos
[π6,∞)\left[\frac{\pi}{6}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡(x)+3cos⁡(x))=0- (\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π3]\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right]
Convexa en los intervalos
[−π3,∞)\left[- \frac{\pi}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+3cos⁡(x))=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+3cos⁡(x))=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) + sqrt(3)*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+3cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+3cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)+3cos⁡(x)=−sin⁡(x)+3cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}
- No
sin⁡(x)+3cos⁡(x)=sin⁡(x)−3cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sin(x)+sqrt(3)*cos(x)
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