Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x)-sqrt(3)*cos(x)

Gráfico de la función y = sin(x)-sqrt(3)*cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  ___       
f(x) = sin(x) - \/ 3 *cos(x)
f(x)=sin⁡(x)−3cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} - \sqrt{3} \cos{\left(x \right)} 
f = sin(x) - sqrt(3)*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)−3cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} - \sqrt{3} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
Solución numérica
x1=70.162235930172x_{1} = 70.162235930172
x2=−86.9173967493176x_{2} = -86.9173967493176
x3=89.0117918517108x_{3} = 89.0117918517108
x4=−17.8023583703422x_{4} = -17.8023583703422
x5=95.2949771588904x_{5} = 95.2949771588904
x6=−83.7758040957278x_{6} = -83.7758040957278
x7=82.7286065445312x_{7} = 82.7286065445312
x8=104.71975511966x_{8} = 104.71975511966
x9=79.5870138909414x_{9} = 79.5870138909414
x10=−27.2271363311115x_{10} = -27.2271363311115
x11=76.4454212373516x_{11} = 76.4454212373516
x12=7.33038285837618x_{12} = 7.33038285837618
x13=−64.9262481741891x_{13} = -64.9262481741891
x14=32.4631240870945x_{14} = 32.4631240870945
x15=16.7551608191456x_{15} = 16.7551608191456
x16=38.7463093942741x_{16} = 38.7463093942741
x17=−58.6430628670095x_{17} = -58.6430628670095
x18=60.7374579694027x_{18} = 60.7374579694027
x19=92.1533845053006x_{19} = 92.1533845053006
x20=−5.23598775598299x_{20} = -5.23598775598299
x21=−42.9350995990605x_{21} = -42.9350995990605
x22=23.0383461263252x_{22} = 23.0383461263252
x23=4.18879020478639x_{23} = 4.18879020478639
x24=35.6047167406843x_{24} = 35.6047167406843
x25=−30.3687289847013x_{25} = -30.3687289847013
x26=29.3215314335047x_{26} = 29.3215314335047
x27=−96.342174710087x_{27} = -96.342174710087
x28=54.4542726622231x_{28} = 54.4542726622231
x29=98.4365698124802x_{29} = 98.4365698124802
x30=57.5958653158129x_{30} = 57.5958653158129
x31=67.0206432765823x_{31} = 67.0206432765823
x32=−14.6607657167524x_{32} = -14.6607657167524
x33=85.870199198121x_{33} = 85.870199198121
x34=13.6135681655558x_{34} = 13.6135681655558
x35=−2.0943951023932x_{35} = -2.0943951023932
x36=−99.4837673636768x_{36} = -99.4837673636768
x37=19.8967534727354x_{37} = 19.8967534727354
x38=−93.2005820564972x_{38} = -93.2005820564972
x39=−49.2182849062401x_{39} = -49.2182849062401
x40=−33.5103216382911x_{40} = -33.5103216382911
x41=−24.0855436775217x_{41} = -24.0855436775217
x42=45.0294947014537x_{42} = 45.0294947014537
x43=−55.5014702134197x_{43} = -55.5014702134197
x44=−39.7935069454707x_{44} = -39.7935069454707
x45=73.3038285837618x_{45} = 73.3038285837618
x46=63.8790506229925x_{46} = 63.8790506229925
x47=−74.3510261349584x_{47} = -74.3510261349584
x48=−68.0678408277789x_{48} = -68.0678408277789
x49=−46.0766922526503x_{49} = -46.0766922526503
x50=−90.0589894029074x_{50} = -90.0589894029074
x51=1.0471975511966x_{51} = 1.0471975511966
x52=51.3126800086333x_{52} = 51.3126800086333
x53=−61.7846555205993x_{53} = -61.7846555205993
x54=−36.6519142918809x_{54} = -36.6519142918809
x55=−80.634211442138x_{55} = -80.634211442138
x56=−20.943951023932x_{56} = -20.943951023932
x57=−11.5191730631626x_{57} = -11.5191730631626
x58=48.1710873550435x_{58} = 48.1710873550435
x59=41.8879020478639x_{59} = 41.8879020478639
x60=−8.37758040957278x_{60} = -8.37758040957278
x61=−71.2094334813686x_{61} = -71.2094334813686
x62=10.471975511966x_{62} = 10.471975511966
x63=26.1799387799149x_{63} = 26.1799387799149
x64=−52.3598775598299x_{64} = -52.3598775598299
x65=−77.4926187885482x_{65} = -77.4926187885482
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x) - sqrt(3)*cos(x).
−3cos⁡(0)+sin⁡(0)- \sqrt{3} \cos{\left(0 \right)} + \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=−3f{\left(0 \right)} = - \sqrt{3}
Punto:
(0, -sqrt(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3sin⁡(x)+cos⁡(x)=0\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi      
(----, -2)
  6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−π6,∞)\left[- \frac{\pi}{6}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π6]\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x)+3cos⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,π3]\left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right]
Convexa en los intervalos
[π3,∞)\left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)−3cos⁡(x))=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} - \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)−3cos⁡(x))=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} - \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x) - sqrt(3)*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)−3cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)−3cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} - \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)−3cos⁡(x)=−sin⁡(x)−3cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} - \sqrt{3} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}
- No
sin⁡(x)−3cos⁡(x)=sin⁡(x)+3cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} - \sqrt{3} \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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