Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(cos(2*x)+sin(3*x))

Gráfico de la función y = sqrt(cos(2*x)+sin(3*x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         _____________________
f(x) = \/ cos(2*x) + sin(3*x)
f(x)=sin⁡(3x)+cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}} 
f = sqrt(sin(3*x) + cos(2*x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(3x)+cos⁡(2x)=0\sqrt{\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=73.8274273593601x_{1} = 73.8274273593601
x2=42.4115008234622x_{2} = 42.4115008234622
x3=−14.1371669411541x_{3} = -14.1371669411541
x4=86.3937979737193x_{4} = 86.3937979737193
x5=10.9955742875643x_{5} = 10.9955742875643
x6=36.1283155162826x_{6} = 36.1283155162826
x7=−1.5707963267949x_{7} = -1.5707963267949
x8=−58.1194640914112x_{8} = -58.1194640914112
x9=29.845130209103x_{9} = 29.845130209103
x10=−95.8185759344887x_{10} = -95.8185759344887
x11=−20.4203522483337x_{11} = -20.4203522483337
x12=−51.8362787842316x_{12} = -51.8362787842316
x13=67.5442420521806x_{13} = 67.5442420521806
x14=−7.85398163397448x_{14} = -7.85398163397448
x15=−45.553093477052x_{15} = -45.553093477052
x16=−89.5353906273091x_{16} = -89.5353906273091
x17=−14.1371669411541x_{17} = -14.1371669411541
x18=155.508836352695x_{18} = 155.508836352695
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(cos(2*x) + sin(3*x)).
sin⁡(0⋅3)+cos⁡(0⋅2)\sqrt{\sin{\left(0 \cdot 3 \right)} + \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(2x)+3cos⁡(3x)2sin⁡(3x)+cos⁡(2x)=0\frac{- \sin{\left(2 x \right)} + \frac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{2}}{\sqrt{\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=i(log⁡(6)−log⁡(−25−210−10i−i))x_{2} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(- \sqrt{25 - 2 \sqrt{10}} - \sqrt{10} i - i \right)}\right)
x3=i(log⁡(6)−log⁡(25−210−10i−i))x_{3} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(\sqrt{25 - 2 \sqrt{10}} - \sqrt{10} i - i \right)}\right)
x4=i(log⁡(6)−log⁡(−210+25−i+10i))x_{4} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(- \sqrt{2 \sqrt{10} + 25} - i + \sqrt{10} i \right)}\right)
x5=i(log⁡(6)−log⁡(210+25−i+10i))x_{5} = i \left(\log{\left(6 \right)} - \log{\left(\sqrt{2 \sqrt{10} + 25} - i + \sqrt{10} i \right)}\right)
Signos de extremos en los puntos:
 pi      ___ 
(--, I*\/ 2 )
 2           

                                                             _______________________________________________________________________________________________________________________________ 
   /     /        _______________           \         \     /    /    /     /        _______________           \         \\      /    /     /        _______________           \         \\  
   |     |       /          ____        ____|         |    /     |    |     |       /          ____        ____|         ||      |    |     |       /          ____        ____|         ||  
(I*\- log\-I - \/  25 - 2*\/ 10   - I*\/ 10 / + log(6)/, \/   cos\2*I*\- log\-I - \/  25 - 2*\/ 10   - I*\/ 10 / + log(6)// + sin\3*I*\- log\-I - \/  25 - 2*\/ 10   - I*\/ 10 / + log(6)// )

                                                            _____________________________________________________________________________________________________________________________ 
   /     /   _______________               \         \     /    /    /     /   _______________               \         \\      /    /     /   _______________               \         \\  
   |     |  /          ____            ____|         |    /     |    |     |  /          ____            ____|         ||      |    |     |  /          ____            ____|         ||  
(I*\- log\\/  25 - 2*\/ 10   - I - I*\/ 10 / + log(6)/, \/   cos\2*I*\- log\\/  25 - 2*\/ 10   - I - I*\/ 10 / + log(6)// + sin\3*I*\- log\\/  25 - 2*\/ 10   - I - I*\/ 10 / + log(6)// )

                                                             _______________________________________________________________________________________________________________________________ 
   /     /        _______________           \         \     /    /    /     /        _______________           \         \\      /    /     /        _______________           \         \\  
   |     |       /          ____        ____|         |    /     |    |     |       /          ____        ____|         ||      |    |     |       /          ____        ____|         ||  
(I*\- log\-I - \/  25 + 2*\/ 10   + I*\/ 10 / + log(6)/, \/   cos\2*I*\- log\-I - \/  25 + 2*\/ 10   + I*\/ 10 / + log(6)// + sin\3*I*\- log\-I - \/  25 + 2*\/ 10   + I*\/ 10 / + log(6)// )

                                                            _____________________________________________________________________________________________________________________________ 
   /     /   _______________               \         \     /    /    /     /   _______________               \         \\      /    /     /   _______________               \         \\  
   |     |  /          ____            ____|         |    /     |    |     |  /          ____            ____|         ||      |    |     |  /          ____            ____|         ||  
(I*\- log\\/  25 + 2*\/ 10   - I + I*\/ 10 / + log(6)/, \/   cos\2*I*\- log\\/  25 + 2*\/ 10   - I + I*\/ 10 / + log(6)// + sin\3*I*\- log\\/  25 + 2*\/ 10   - I + I*\/ 10 / + log(6)// )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x5=π−atan⁡(−1+10210+25)x_{5} = \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{10}}{\sqrt{2 \sqrt{10} + 25}} \right)}
x5=atan⁡(−1+10210+25)x_{5} = \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{10}}{\sqrt{2 \sqrt{10} + 25}} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,atan⁡(−1+10210+25)]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{10}}{\sqrt{2 \sqrt{10} + 25}} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[π−atan⁡(−1+10210+25),∞)\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{-1 + \sqrt{10}}{\sqrt{2 \sqrt{10} + 25}} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(2sin⁡(2x)−3cos⁡(3x))24(sin⁡(3x)+cos⁡(2x))+9sin⁡(3x)2+2cos⁡(2x)sin⁡(3x)+cos⁡(2x)=0- \frac{\frac{\left(2 \sin{\left(2 x \right)} - 3 \cos{\left(3 x \right)}\right)^{2}}{4 \left(\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right)} + \frac{9 \sin{\left(3 x \right)}}{2} + 2 \cos{\left(2 x \right)}}{\sqrt{\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(3x)+cos⁡(2x)=⟨0,2⟩\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}} = \left\langle 0, \sqrt{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, \sqrt{2}\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡(3x)+cos⁡(2x)=⟨0,2⟩\lim_{x \to \infty} \sqrt{\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}} = \left\langle 0, \sqrt{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,2⟩y = \left\langle 0, \sqrt{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(cos(2*x) + sin(3*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(3x)+cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(3x)+cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(3x)+cos⁡(2x)=−sin⁡(3x)+cos⁡(2x)\sqrt{\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}} = \sqrt{- \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}
- No
sin⁡(3x)+cos⁡(2x)=−−sin⁡(3x)+cos⁡(2x)\sqrt{\sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}} = - \sqrt{- \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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