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Trazado el gráfico de la función/ exp(2*x)+log(1-2*x)-4*x-1

Gráfico de la función y = exp(2*x)+log(1-2*x)-4*x-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2*x                         
f(x) = e    + log(1 - 2*x) - 4*x - 1
f(x)=(−4x+(e2x+log⁡(1−2x)))−1f{\left(x \right)} = \left(- 4 x + \left(e^{2 x} + \log{\left(1 - 2 x \right)}\right)\right) - 1 
f = -4*x + exp(2*x) + log(1 - 2*x) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500000000500000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−4x+(e2x+log⁡(1−2x)))−1=0\left(- 4 x + \left(e^{2 x} + \log{\left(1 - 2 x \right)}\right)\right) - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(2*x) + log(1 - 2*x) - 4*x - 1.
−1+(−0+(log⁡(1−0)+e0⋅2))-1 + \left(- 0 + \left(\log{\left(1 - 0 \right)} + e^{0 \cdot 2}\right)\right)
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2e2x−4−21−2x=02 e^{2 x} - 4 - \frac{2}{1 - 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(e2x−1(2x−1)2)=04 \left(e^{2 x} - \frac{1}{\left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=W(12e12)+12x_{2} = W\left(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) + \frac{1}{2}
x3=W−1(−12e12)+12x_{3} = W_{-1}\left(- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) + \frac{1}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[W−1(−12e12)+12,0]∪[W(12e12)+12,∞)\left[W_{-1}\left(- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) + \frac{1}{2}, 0\right] \cup \left[W\left(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) + \frac{1}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,W−1(−12e12)+12]∪[0,W(12e12)+12]\left(-\infty, W_{-1}\left(- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) + \frac{1}{2}\right] \cup \left[0, W\left(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}\right) + \frac{1}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−4x+(e2x+log⁡(1−2x)))−1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 4 x + \left(e^{2 x} + \log{\left(1 - 2 x \right)}\right)\right) - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−4x+(e2x+log⁡(1−2x)))−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 4 x + \left(e^{2 x} + \log{\left(1 - 2 x \right)}\right)\right) - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(2*x) + log(1 - 2*x) - 4*x - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−4x+(e2x+log⁡(1−2x)))−1x)=−4\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 4 x + \left(e^{2 x} + \log{\left(1 - 2 x \right)}\right)\right) - 1}{x}\right) = -4
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−4xy = - 4 x
lim⁡x→∞((−4x+(e2x+log⁡(1−2x)))−1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 4 x + \left(e^{2 x} + \log{\left(1 - 2 x \right)}\right)\right) - 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−4x+(e2x+log⁡(1−2x)))−1=4x+log⁡(2x+1)−1+e−2x\left(- 4 x + \left(e^{2 x} + \log{\left(1 - 2 x \right)}\right)\right) - 1 = 4 x + \log{\left(2 x + 1 \right)} - 1 + e^{- 2 x}
- No
(−4x+(e2x+log⁡(1−2x)))−1=−4x−log⁡(2x+1)+1−e−2x\left(- 4 x + \left(e^{2 x} + \log{\left(1 - 2 x \right)}\right)\right) - 1 = - 4 x - \log{\left(2 x + 1 \right)} + 1 - e^{- 2 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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