Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2*sin(x-1)

Gráfico de la función y = 2*sin(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 2*sin(x - 1)
f(x)=2sin⁡(x−1)f{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x - 1 \right)} 
f = 2*sin(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2sin⁡(x−1)=02 \sin{\left(x - 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
x2=1+πx_{2} = 1 + \pi
Solución numérica
x1=−58.6902604182061x_{1} = -58.6902604182061
x2=−5.28318530717959x_{2} = -5.28318530717959
x3=−27.2743338823081x_{3} = -27.2743338823081
x4=26.1327412287183x_{4} = 26.1327412287183
x5=1x_{5} = 1
x6=−86.9645943005142x_{6} = -86.9645943005142
x7=51.2654824574367x_{7} = 51.2654824574367
x8=13.5663706143592x_{8} = 13.5663706143592
x9=−90.106186954104x_{9} = -90.106186954104
x10=88.9645943005142x_{10} = 88.9645943005142
x11=57.5486677646163x_{11} = 57.5486677646163
x12=22.9911485751286x_{12} = 22.9911485751286
x13=63.8318530717959x_{13} = 63.8318530717959
x14=54.4070751110265x_{14} = 54.4070751110265
x15=38.6991118430775x_{15} = 38.6991118430775
x16=70.1150383789755x_{16} = 70.1150383789755
x17=41.8407044966673x_{17} = 41.8407044966673
x18=−24.1327412287183x_{18} = -24.1327412287183
x19=−551.920307031804x_{19} = -551.920307031804
x20=−2.14159265358979x_{20} = -2.14159265358979
x21=76.398223686155x_{21} = 76.398223686155
x22=−64.9734457253857x_{22} = -64.9734457253857
x23=85.8230016469244x_{23} = 85.8230016469244
x24=19.8495559215388x_{24} = 19.8495559215388
x25=79.5398163397448x_{25} = 79.5398163397448
x26=−99.5309649148734x_{26} = -99.5309649148734
x27=−55.5486677646163x_{27} = -55.5486677646163
x28=48.1238898038469x_{28} = 48.1238898038469
x29=35.5575191894877x_{29} = 35.5575191894877
x30=−14.707963267949x_{30} = -14.707963267949
x31=−74.398223686155x_{31} = -74.398223686155
x32=−8.42477796076938x_{32} = -8.42477796076938
x33=−93.2477796076938x_{33} = -93.2477796076938
x34=−20.9911485751286x_{34} = -20.9911485751286
x35=−102.672557568463x_{35} = -102.672557568463
x36=−124.663706143592x_{36} = -124.663706143592
x37=−83.8230016469244x_{37} = -83.8230016469244
x38=−52.4070751110265x_{38} = -52.4070751110265
x39=10.4247779607694x_{39} = 10.4247779607694
x40=66.9734457253857x_{40} = 66.9734457253857
x41=−11.5663706143592x_{41} = -11.5663706143592
x42=−30.4159265358979x_{42} = -30.4159265358979
x43=29.2743338823081x_{43} = 29.2743338823081
x44=32.4159265358979x_{44} = 32.4159265358979
x45=−115.238928182822x_{45} = -115.238928182822
x46=−39.8407044966673x_{46} = -39.8407044966673
x47=−49.2654824574367x_{47} = -49.2654824574367
x48=−80.6814089933346x_{48} = -80.6814089933346
x49=−33.5575191894877x_{49} = -33.5575191894877
x50=−71.2566310325652x_{50} = -71.2566310325652
x51=−46.1238898038469x_{51} = -46.1238898038469
x52=98.3893722612836x_{52} = 98.3893722612836
x53=16.707963267949x_{53} = 16.707963267949
x54=4.14159265358979x_{54} = 4.14159265358979
x55=73.2566310325652x_{55} = 73.2566310325652
x56=95.2477796076938x_{56} = 95.2477796076938
x57=82.6814089933346x_{57} = 82.6814089933346
x58=−36.6991118430775x_{58} = -36.6991118430775
x59=−77.5398163397448x_{59} = -77.5398163397448
x60=−42.9822971502571x_{60} = -42.9822971502571
x61=−68.1150383789755x_{61} = -68.1150383789755
x62=60.6902604182061x_{62} = 60.6902604182061
x63=−96.3893722612836x_{63} = -96.3893722612836
x64=44.9822971502571x_{64} = 44.9822971502571
x65=92.106186954104x_{65} = 92.106186954104
x66=−61.8318530717959x_{66} = -61.8318530717959
x67=7.28318530717959x_{67} = 7.28318530717959
x68=−17.8495559215388x_{68} = -17.8495559215388
x69=1229.36272755361x_{69} = 1229.36272755361
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*sin(x - 1).
2sin⁡(−1)2 \sin{\left(-1 \right)}
Resultado:
f(0)=−2sin⁡(1)f{\left(0 \right)} = - 2 \sin{\left(1 \right)}
Punto:
(0, -2*sin(1))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2cos⁡(x−1)=02 \cos{\left(x - 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1+π2x_{1} = 1 + \frac{\pi}{2}
x2=1+3π2x_{2} = 1 + \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
     pi    
(1 + --, 2)
     2     

     3*pi     
(1 + ----, -2)
      2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1+3π2x_{1} = 1 + \frac{3 \pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=1+π2x_{1} = 1 + \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,1+π2]∪[1+3π2,∞)\left(-\infty, 1 + \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[1 + \frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[1+π2,1+3π2]\left[1 + \frac{\pi}{2}, 1 + \frac{3 \pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2sin⁡(x−1)=0- 2 \sin{\left(x - 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=1+πx_{2} = 1 + \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1]∪[1+π,∞)\left(-\infty, 1\right] \cup \left[1 + \pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[1,1+π]\left[1, 1 + \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x−1))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left(x - 1 \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(2sin⁡(x−1))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left(x - 1 \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*sin(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x−1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x - 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2sin⁡(x−1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x - 1 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2sin⁡(x−1)=−2sin⁡(x+1)2 \sin{\left(x - 1 \right)} = - 2 \sin{\left(x + 1 \right)}
- No
2sin⁡(x−1)=2sin⁡(x+1)2 \sin{\left(x - 1 \right)} = 2 \sin{\left(x + 1 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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