Sr Examen

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2*sin(x)-1
Trazado el gráfico de la función/ 2*sin(x)-1

Gráfico de la función y = 2*sin(x)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 2*sin(x) - 1
f(x)=2sin⁡(x)−1f{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} - 1 
f = 2*sin(x) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2sin⁡(x)−1=02 \sin{\left(x \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
x2=5π6x_{2} = \frac{5 \pi}{6}
Solución numérica
x1=−30.8923277602996x_{1} = -30.8923277602996
x2=46.6002910282486x_{2} = 46.6002910282486
x3=−81.1578102177363x_{3} = -81.1578102177363
x4=84.2994028713261x_{4} = 84.2994028713261
x5=19.3731546971371x_{5} = 19.3731546971371
x6=71.733032256967x_{6} = 71.733032256967
x7=−56.025068989018x_{7} = -56.025068989018
x8=134.564885328763x_{8} = 134.564885328763
x9=−87.4409955249159x_{9} = -87.4409955249159
x10=94.7713783832921x_{10} = 94.7713783832921
x11=−2650.98060085419x_{11} = -2650.98060085419
x12=−9.94837673636768x_{12} = -9.94837673636768
x13=−53.9306738866248x_{13} = -53.9306738866248
x14=−47.6474885794452x_{14} = -47.6474885794452
x15=101.054563690472x_{15} = 101.054563690472
x16=−60.2138591938044x_{16} = -60.2138591938044
x17=−24.60914245312x_{17} = -24.60914245312
x18=−627.79493194236x_{18} = -627.79493194236
x19=−62.3082542961976x_{19} = -62.3082542961976
x20=−18.3259571459405x_{20} = -18.3259571459405
x21=−68.5914396033772x_{21} = -68.5914396033772
x22=82.2050077689329x_{22} = 82.2050077689329
x23=−12.0427718387609x_{23} = -12.0427718387609
x24=69.6386371545737x_{24} = 69.6386371545737
x25=138.753675533549x_{25} = 138.753675533549
x26=−74.8746249105567x_{26} = -74.8746249105567
x27=40.317105721069x_{27} = 40.317105721069
x28=31.9395253114962x_{28} = 31.9395253114962
x29=−49.7418836818384x_{29} = -49.7418836818384
x30=63.3554518473942x_{30} = 63.3554518473942
x31=−22.5147473507269x_{31} = -22.5147473507269
x32=50.789081233035x_{32} = 50.789081233035
x33=8.90117918517108x_{33} = 8.90117918517108
x34=15.1843644923507x_{34} = 15.1843644923507
x35=13.0899693899575x_{35} = 13.0899693899575
x36=65.4498469497874x_{36} = 65.4498469497874
x37=96.8657734856853x_{37} = 96.8657734856853
x38=−41.3643032722656x_{38} = -41.3643032722656
x39=17438.4572213013x_{39} = 17438.4572213013
x40=25.6563400043166x_{40} = 25.6563400043166
x41=90.5825881785057x_{41} = 90.5825881785057
x42=−91.6297857297023x_{42} = -91.6297857297023
x43=−97.9129710368819x_{43} = -97.9129710368819
x44=44.5058959258554x_{44} = 44.5058959258554
x45=−100.007366139275x_{45} = -100.007366139275
x46=−35.081117965086x_{46} = -35.081117965086
x47=78.0162175641465x_{47} = 78.0162175641465
x48=−3.66519142918809x_{48} = -3.66519142918809
x49=38.2227106186758x_{49} = 38.2227106186758
x50=−66.497044500984x_{50} = -66.497044500984
x51=2.61799387799149x_{51} = 2.61799387799149
x52=−5.75958653158129x_{52} = -5.75958653158129
x53=0.523598775598299x_{53} = 0.523598775598299
x54=−79.0634151153431x_{54} = -79.0634151153431
x55=6.80678408277789x_{55} = 6.80678408277789
x56=34.0339204138894x_{56} = 34.0339204138894
x57=−16.2315620435473x_{57} = -16.2315620435473
x58=−93.7241808320955x_{58} = -93.7241808320955
x59=57.0722665402146x_{59} = 57.0722665402146
x60=−72.7802298081635x_{60} = -72.7802298081635
x61=75.9218224617533x_{61} = 75.9218224617533
x62=−43.4586983746588x_{62} = -43.4586983746588
x63=−4454.25478401473x_{63} = -4454.25478401473
x64=−37.1755130674792x_{64} = -37.1755130674792
x65=−28.7979326579064x_{65} = -28.7979326579064
x66=27.7507351067098x_{66} = 27.7507351067098
x67=52.8834763354282x_{67} = 52.8834763354282
x68=21.4675497995303x_{68} = 21.4675497995303
x69=59.1666616426078x_{69} = 59.1666616426078
x70=−85.3466004225227x_{70} = -85.3466004225227
x71=88.4881930761125x_{71} = 88.4881930761125
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*sin(x) - 1.
−1+2sin⁡(0)-1 + 2 \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2cos⁡(x)=02 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    
(--, 1)
 2     

 3*pi     
(----, -3)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2sin⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x)−1)=⟨−3,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−3,1⟩y = \left\langle -3, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(2sin⁡(x)−1)=⟨−3,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -3, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−3,1⟩y = \left\langle -3, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*sin(x) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2sin⁡(x)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2sin⁡(x)−1=−2sin⁡(x)−12 \sin{\left(x \right)} - 1 = - 2 \sin{\left(x \right)} - 1
- No
2sin⁡(x)−1=2sin⁡(x)+12 \sin{\left(x \right)} - 1 = 2 \sin{\left(x \right)} + 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 2*sin(x)-1
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