Sr Examen

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x^cos(x)
Trazado el gráfico de la función/ x^cos(x)

Gráfico de la función y = x^cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        cos(x)
f(x) = x
f(x)=xcos⁡(x)f{\left(x \right)} = x^{\cos{\left(x \right)}} 
f = x^cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xcos⁡(x)=0x^{\cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^cos(x).
0cos⁡(0)0^{\cos{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
xcos⁡(x)(−log⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡(x)x)=0x^{\cos{\left(x \right)}} \left(- \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=97.3916147574604x_{1} = 97.3916147574604
x2=78.5427340593526x_{2} = 78.5427340593526
x3=22.0058475927713x_{3} = 22.0058475927713
x4=28.2849113047725x_{4} = 28.2849113047725
x5=12.5976921976804x_{5} = 12.5976921976804
x6=84.8256564376189x_{6} = 84.8256564376189
x7=47.1293968198114x_{7} = 47.1293968198114
x8=103.674635786899x_{8} = 103.674635786899
x9=59.6943570030875x_{9} = 59.6943570030875
x10=15.7310277752208x_{10} = 15.7310277752208
x11=50.27056033759x_{11} = 50.27056033759
x12=91.1086195251935x_{12} = 91.1086195251935
x13=9.47170218677955x_{13} = 9.47170218677955
x14=72.2598642156451x_{14} = 72.2598642156451
x15=40.8473034495909x_{15} = 40.8473034495909
x16=65.9770636783598x_{16} = 65.9770636783598
x17=43.9883049460921x_{17} = 43.9883049460921
x18=6.36781151369107x_{18} = 6.36781151369107
x19=87.967133489911x_{19} = 87.967133489911
x20=3.37991614208723x_{20} = 3.37991614208723
x21=53.4117815402062x_{21} = 53.4117815402062
x22=34.5656848442796x_{22} = 34.5656848442796
x23=94.2501135627054x_{23} = 94.2501135627054
Signos de extremos en los puntos:
(97.39161475746043, 0.0102679426284391)

(78.5427340593526, 0.012732158947266)

(22.00584759277127, 0.0454576448961925)

(28.284911304772503, 0.0353611499054794)

(12.597692197680386, 12.5820475298685)

(84.82565643761893, 0.0117890705546667)

(47.1293968198114, 0.0212194191497604)

(103.67463578689859, 0.00964565744777539)

(59.69435700308747, 0.0167525770199101)

(15.731027775220827, 0.0636152456224976)

(50.27056033759003, 50.2680214889037)

(91.10861952519349, 0.0109760564379996)

(9.471702186779549, 0.105839251192372)

(72.25986421564514, 0.0138392506396558)

(40.847303449590925, 0.024483397757226)

(65.9770636783598, 0.0151571980130027)

(43.98830494609213, 43.9853011959107)

(6.367811513691074, 6.32576409081439)

(87.96713348991098, 87.965863907785)

(3.3799161420872266, 0.306227040236302)

(53.41178154020617, 0.0187232859435638)

(34.56568484427963, 0.028933843670019)

(94.25011356270541, 94.2489465950729)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=97.3916147574604x_{1} = 97.3916147574604
x2=78.5427340593526x_{2} = 78.5427340593526
x3=22.0058475927713x_{3} = 22.0058475927713
x4=28.2849113047725x_{4} = 28.2849113047725
x5=84.8256564376189x_{5} = 84.8256564376189
x6=47.1293968198114x_{6} = 47.1293968198114
x7=103.674635786899x_{7} = 103.674635786899
x8=59.6943570030875x_{8} = 59.6943570030875
x9=15.7310277752208x_{9} = 15.7310277752208
x10=91.1086195251935x_{10} = 91.1086195251935
x11=9.47170218677955x_{11} = 9.47170218677955
x12=72.2598642156451x_{12} = 72.2598642156451
x13=40.8473034495909x_{13} = 40.8473034495909
x14=65.9770636783598x_{14} = 65.9770636783598
x15=3.37991614208723x_{15} = 3.37991614208723
x16=53.4117815402062x_{16} = 53.4117815402062
x17=34.5656848442796x_{17} = 34.5656848442796
Puntos máximos de la función:
x17=12.5976921976804x_{17} = 12.5976921976804
x17=50.27056033759x_{17} = 50.27056033759
x17=43.9883049460921x_{17} = 43.9883049460921
x17=6.36781151369107x_{17} = 6.36781151369107
x17=87.967133489911x_{17} = 87.967133489911
x17=94.2501135627054x_{17} = 94.2501135627054
Decrece en los intervalos
[103.674635786899,∞)\left[103.674635786899, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,3.37991614208723]\left(-\infty, 3.37991614208723\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
xcos⁡(x)((log⁡(x)sin⁡(x)−cos⁡(x)x)2−log⁡(x)cos⁡(x)−2sin⁡(x)x−cos⁡(x)x2)=0x^{\cos{\left(x \right)}} \left(\left(\log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right)^{2} - \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=18.3026589043737x_{1} = 18.3026589043737
x2=1.9329203713318x_{2} = 1.9329203713318
x3=49.776726520619x_{3} = 49.776726520619
x4=93.7901181716121x_{4} = 93.7901181716121
x5=62.3547011549221x_{5} = 62.3547011549221
x6=31.9499273189821x_{6} = 31.9499273189821
x7=5.68496874912586x_{7} = 5.68496874912586
x8=75.8725522332147x_{8} = 75.8725522332147
x9=38.2185681672144x_{9} = 38.2185681672144
x10=11.9940356351546x_{10} = 11.9940356351546
x11=56.0661165821652x_{11} = 56.0661165821652
x12=0.428858346216444x_{12} = 0.428858346216444
x13=82.1513288530824x_{13} = 82.1513288530824
x14=88.430551509621x_{14} = 88.430551509621
x15=44.4904554121252x_{15} = 44.4904554121252
x16=100.076224801364x_{16} = 100.076224801364

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[88.430551509621,∞)\left[88.430551509621, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1.9329203713318]\left(-\infty, 1.9329203713318\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞xcos⁡(x)=(−∞)⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} x^{\cos{\left(x \right)}} = \left(-\infty\right)^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=(−∞)⟨−1,1⟩y = \left(-\infty\right)^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
lim⁡x→∞xcos⁡(x)=∞⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} x^{\cos{\left(x \right)}} = \infty^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=∞⟨−1,1⟩y = \infty^{\left\langle -1, 1\right\rangle}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xcos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{\cos{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(xcos⁡(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\cos{\left(x \right)}}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xcos⁡(x)=(−x)cos⁡(x)x^{\cos{\left(x \right)}} = \left(- x\right)^{\cos{\left(x \right)}}
- No
xcos⁡(x)=−(−x)cos⁡(x)x^{\cos{\left(x \right)}} = - \left(- x\right)^{\cos{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^cos(x)
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