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Trazado el gráfico de la función/ abs(x)*(2-x)^3

Gráfico de la función y = abs(x)*(2-x)^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  3
f(x) = |x|*(2 - x)
f(x)=(2−x)3∣x∣f{\left(x \right)} = \left(2 - x\right)^{3} \left|{x}\right| 
f = (2 - x)^3*|x|
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2500025000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(2−x)3∣x∣=0\left(2 - x\right)^{3} \left|{x}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x|*(2 - x)^3.
(2−0)3∣0∣\left(2 - 0\right)^{3} \left|{0}\right|
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2−x)3sign⁡(x)−3(2−x)2∣x∣=0\left(2 - x\right)^{3} \operatorname{sign}{\left(x \right)} - 3 \left(2 - x\right)^{2} \left|{x}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
x2=2x_{2} = 2
Signos de extremos en los puntos:
      27 
(1/2, --)
      16 

(2, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Crece en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(x−2)((x−2)2δ(x)+3(x−2)sign⁡(x)+3∣x∣)=0- 2 \left(x - 2\right) \left(\left(x - 2\right)^{2} \delta\left(x\right) + 3 \left(x - 2\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} + 3 \left|{x}\right|\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((2−x)3∣x∣)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(2 - x\right)^{3} \left|{x}\right|\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((2−x)3∣x∣)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(2 - x\right)^{3} \left|{x}\right|\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x|*(2 - x)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2−x)3∣x∣x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 - x\right)^{3} \left|{x}\right|}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((2−x)3∣x∣x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 - x\right)^{3} \left|{x}\right|}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(2−x)3∣x∣=(x+2)3∣x∣\left(2 - x\right)^{3} \left|{x}\right| = \left(x + 2\right)^{3} \left|{x}\right|
- No
(2−x)3∣x∣=−(x+2)3∣x∣\left(2 - x\right)^{3} \left|{x}\right| = - \left(x + 2\right)^{3} \left|{x}\right|
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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