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Trazado el gráfico de la función/ abs(x+1)+2*abs(x+5)-2*x-3

Gráfico de la función y = abs(x+1)+2*abs(x+5)-2*x-3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = |x + 1| + 2*|x + 5| - 2*x - 3
f(x)=(−2x+(∣x+1∣+2∣x+5∣))−3f{\left(x \right)} = \left(- 2 x + \left(\left|{x + 1}\right| + 2 \left|{x + 5}\right|\right)\right) - 3 
f = -2*x + |x + 1| + 2*|x + 5| - 3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−2x+(∣x+1∣+2∣x+5∣))−3=0\left(- 2 x + \left(\left|{x + 1}\right| + 2 \left|{x + 5}\right|\right)\right) - 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x + 1| + 2*|x + 5| - 2*x - 3.
−3+(−0+(∣1∣+2∣5∣))-3 + \left(- 0 + \left(\left|{1}\right| + 2 \left|{5}\right|\right)\right)
Resultado:
f(0)=8f{\left(0 \right)} = 8
Punto:
(0, 8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sign⁡(x+1)+2sign⁡(x+5)−2=0\operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)} + 2 \operatorname{sign}{\left(x + 5 \right)} - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(δ(x+1)+2δ(x+5))=02 \left(\delta\left(x + 1\right) + 2 \delta\left(x + 5\right)\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−2x+(∣x+1∣+2∣x+5∣))−3)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 2 x + \left(\left|{x + 1}\right| + 2 \left|{x + 5}\right|\right)\right) - 3\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−2x+(∣x+1∣+2∣x+5∣))−3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 2 x + \left(\left|{x + 1}\right| + 2 \left|{x + 5}\right|\right)\right) - 3\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x + 1| + 2*|x + 5| - 2*x - 3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−2x+(∣x+1∣+2∣x+5∣))−3x)=−5\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(\left|{x + 1}\right| + 2 \left|{x + 5}\right|\right)\right) - 3}{x}\right) = -5
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−5xy = - 5 x
lim⁡x→∞((−2x+(∣x+1∣+2∣x+5∣))−3x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(\left|{x + 1}\right| + 2 \left|{x + 5}\right|\right)\right) - 3}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−2x+(∣x+1∣+2∣x+5∣))−3=2x+2∣x−5∣+∣x−1∣−3\left(- 2 x + \left(\left|{x + 1}\right| + 2 \left|{x + 5}\right|\right)\right) - 3 = 2 x + 2 \left|{x - 5}\right| + \left|{x - 1}\right| - 3
- No
(−2x+(∣x+1∣+2∣x+5∣))−3=−2x−2∣x−5∣−∣x−1∣+3\left(- 2 x + \left(\left|{x + 1}\right| + 2 \left|{x + 5}\right|\right)\right) - 3 = - 2 x - 2 \left|{x - 5}\right| - \left|{x - 1}\right| + 3
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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