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Trazado el gráfico de la función/ arccos(x)-x

Gráfico de la función y = arccos(x)-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = acos(x) - x
f(x)=−x+acos⁡(x)f{\left(x \right)} = - x + \operatorname{acos}{\left(x \right)} 
f = -x + acos(x)
Gráfico de la función
-0.50-0.45-0.40-0.35-0.30-0.25-0.20-0.15-0.10-0.050.0013
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x+acos⁡(x)=0- x + \operatorname{acos}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.739085133215161x_{1} = 0.739085133215161
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(x) - x.
−0+acos⁡(0)- 0 + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=π2f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1−11−x2=0-1 - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−x(1−x2)32=0- \frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x+acos⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \operatorname{acos}{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x+acos⁡(x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- x + \operatorname{acos}{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(x) - x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x+acos⁡(x)x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(−x+acos⁡(x)x)=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−xy = - x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x+acos⁡(x)=x+acos⁡(−x)- x + \operatorname{acos}{\left(x \right)} = x + \operatorname{acos}{\left(- x \right)}
- No
−x+acos⁡(x)=−x−acos⁡(−x)- x + \operatorname{acos}{\left(x \right)} = - x - \operatorname{acos}{\left(- x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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