Sr Examen

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5*cos(x)+sin(4*x)-10*x

Gráfico de la función y = 5*cos(x)+sin(4*x)-10*x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = 5*cos(x) + sin(4*x) - 10*x
$$f{\left(x \right)} = - 10 x + \left(\sin{\left(4 x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right)$$
f = -10*x + sin(4*x) + 5*cos(x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- 10 x + \left(\sin{\left(4 x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 0.520846753420125$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 5*cos(x) + sin(4*x) - 10*x.
$$- 0 + \left(\sin{\left(0 \cdot 4 \right)} + 5 \cos{\left(0 \right)}\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 5$$
Punto:
(0, 5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 5 \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(4 x \right)} - 10 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (16 \sin{\left(4 x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 10 x + \left(\sin{\left(4 x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 10 x + \left(\sin{\left(4 x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 5*cos(x) + sin(4*x) - 10*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 10 x + \left(\sin{\left(4 x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right)}{x}\right) = -10$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - 10 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 10 x + \left(\sin{\left(4 x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right)}{x}\right) = -10$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - 10 x$$
Gráfico
Gráfico de la función y = 5*cos(x)+sin(4*x)-10*x