Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -46*sinx+41

Gráfico de la función y = -46*sinx+41

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = -46*sin(x) + 41
f(x)=41−46sin⁡(x)f{\left(x \right)} = 41 - 46 \sin{\left(x \right)} 
f = 41 - 46*sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
41−46sin⁡(x)=041 - 46 \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π−asin⁡(4146)x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{41}{46} \right)}
x2=asin⁡(4146)x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{41}{46} \right)}
Solución numérica
x1=−35.6577330540731x_{1} = -35.6577330540731
x2=−29.3745477468935x_{2} = -29.3745477468935
x3=77.4396024751594x_{3} = 77.4396024751594
x4=58.5900465536207x_{4} = 58.5900465536207
x5=90.0059730895186x_{5} = 90.0059730895186
x6=19.9497697861241x_{6} = 19.9497697861241
x7=−5.18297144259421x_{7} = -5.18297144259421
x8=63.9320669363812x_{8} = 63.9320669363812
x9=−49.1652685928513x_{9} = -49.1652685928513
x10=27.1741200177228x_{10} = 27.1741200177228
x11=−23.0913624397139x_{11} = -23.0913624397139
x12=7.38339917176497x_{12} = 7.38339917176497
x13=−60.7904742827915x_{13} = -60.7904742827915
x14=13.6665844789446x_{14} = 13.6665844789446
x15=96.2891583966982x_{15} = 96.2891583966982
x16=−74.2980098215697x_{16} = -74.2980098215697
x17=89.0648081650996x_{17} = 89.0648081650996
x18=−92.2064008186894x_{18} = -92.2064008186894
x19=−193.678530657982x_{19} = -193.678530657982
x20=32.5161404004833x_{20} = 32.5161404004833
x21=52.3068612464411x_{21} = 52.3068612464411
x22=−55.4484539000309x_{22} = -55.4484539000309
x23=−117.339142047408x_{23} = -117.339142047408
x24=−61.7316392072105x_{24} = -61.7316392072105
x25=38.7993257076629x_{25} = 38.7993257076629
x26=−93.1475657431084x_{26} = -93.1475657431084
x27=−16.8081771325343x_{27} = -16.8081771325343
x28=33.4573053249023x_{28} = 33.4573053249023
x29=64.8732318608003x_{29} = 64.8732318608003
x30=−68.0148245143901x_{30} = -68.0148245143901
x31=1.10021386458538x_{31} = 1.10021386458538
x32=−36.5988979784921x_{32} = -36.5988979784921
x33=−85.9232155115098x_{33} = -85.9232155115098
x34=46.0236759392615x_{34} = 46.0236759392615
x35=82.78162285792x_{35} = 82.78162285792
x36=26.2329550933037x_{36} = 26.2329550933037
x37=14.6077494033636x_{37} = 14.6077494033636
x38=39.7404906320819x_{38} = 39.7404906320819
x39=−48.2241036684323x_{39} = -48.2241036684323
x40=71.1564171679799x_{40} = 71.1564171679799
x41=−41.9409183612527x_{41} = -41.9409183612527
x42=95.3479934722792x_{42} = 95.3479934722792
x43=152.837826161314x_{43} = 152.837826161314
x44=−4.24180651817517x_{44} = -4.24180651817517
x45=51.3656963220221x_{45} = 51.3656963220221
x46=20.8909347105432x_{46} = 20.8909347105432
x47=−507.837796016961x_{47} = -507.837796016961
x48=2.04137878900441x_{48} = 2.04137878900441
x49=−86.8643804359288x_{49} = -86.8643804359288
x50=101.631178779459x_{50} = 101.631178779459
x51=−98.489586125869x_{51} = -98.489586125869
x52=−11.4661567497738x_{52} = -11.4661567497738
x53=−17.7493420569534x_{53} = -17.7493420569534
x54=45.0825110148425x_{54} = 45.0825110148425
x55=−67.073659589971x_{55} = -67.073659589971
x56=76.4984375507404x_{56} = 76.4984375507404
x57=−80.5811951287492x_{57} = -80.5811951287492
x58=−42.8820832856717x_{58} = -42.8820832856717
x59=8.324564096184x_{59} = 8.324564096184
x60=57.6488816292017x_{60} = 57.6488816292017
x61=83.722787782339x_{61} = 83.722787782339
x62=−54.5072889756119x_{62} = -54.5072889756119
x63=−24.032527364133x_{63} = -24.032527364133
x64=−73.3568448971506x_{64} = -73.3568448971506
x65=−79.6400302043302x_{65} = -79.6400302043302
x66=−30.3157126713125x_{66} = -30.3157126713125
x67=−10.5249918253548x_{67} = -10.5249918253548
x68=−469.197519249465x_{68} = -469.197519249465
x69=−99.430751050288x_{69} = -99.430751050288
x70=70.2152522435608x_{70} = 70.2152522435608
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -46*sin(x) + 41.
41−46sin⁡(0)41 - 46 \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=41f{\left(0 \right)} = 41
Punto:
(0, 41)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−46cos⁡(x)=0- 46 \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi     
(--, -5)
 2      

 3*pi     
(----, 87)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
Decrece en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
46sin⁡(x)=046 \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(41−46sin⁡(x))=⟨−5,87⟩\lim_{x \to -\infty}\left(41 - 46 \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -5, 87\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−5,87⟩y = \left\langle -5, 87\right\rangle
lim⁡x→∞(41−46sin⁡(x))=⟨−5,87⟩\lim_{x \to \infty}\left(41 - 46 \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -5, 87\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−5,87⟩y = \left\langle -5, 87\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -46*sin(x) + 41, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(41−46sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{41 - 46 \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(41−46sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{41 - 46 \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
41−46sin⁡(x)=46sin⁡(x)+4141 - 46 \sin{\left(x \right)} = 46 \sin{\left(x \right)} + 41
- No
41−46sin⁡(x)=−46sin⁡(x)−4141 - 46 \sin{\left(x \right)} = - 46 \sin{\left(x \right)} - 41
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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