Gráfico de la función y = arctg(x)+arctg(1/x)

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                     /1\
f(x) = atan(x) + atan|-|
                     \x/

f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}

f = atan(1/x) + atan(x)

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:

x_{1} = 0

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)} = 0

Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x) + atan(1/x).

\operatorname{atan}{\left(0 \right)} + \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{0} \right)}

Resultado:

f{\left(0 \right)} = \left\langle - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right\rangle

Punto:

(0, AccumBounds(-pi/2, pi/2))

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

\frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

2 \left(- \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} - \frac{1}{x^{5} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}\right) = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas verticales

Hay:

x_{1} = 0

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = - \frac{\pi}{2}

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:

y = - \frac{\pi}{2}

\lim_{x \to \infty}\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \frac{\pi}{2}

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:

y = \frac{\pi}{2}

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x) + atan(1/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} - \operatorname{atan}{\left(x \right)}

- No

\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}

- Sí
es decir, función
es
impar

Gráfico