Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x+1)+sqrt(5-x)

Gráfico de la función y = sqrt(x+1)+sqrt(5-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         _______     _______
f(x) = \/ x + 1  + \/ 5 - x
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 1}$$ 
f = sqrt(5 - x) + sqrt(x + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x + 1) + sqrt(5 - x).
$$\sqrt{1} + \sqrt{5 - 0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1 + \sqrt{5}$$
Punto:
(0, 1 + sqrt(5))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2 \sqrt{5 - x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
        ___ 
(2, 2*\/ 3 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\frac{1}{\left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\left(5 - x\right)^{\frac{3}{2}}}}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 1}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 1}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x + 1) + sqrt(5 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 1} = \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 5}$$
- No
$$\sqrt{5 - x} + \sqrt{x + 1} = - \sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 5}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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