Sr Examen

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Gráfico de la función y = -x+1+sqrt(x^2-2x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                   ______________
                  /  2           
f(x) = -x + 1 + \/  x  - 2*x + 1 
$$f{\left(x \right)} = \left(1 - x\right) + \sqrt{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}$$
f = 1 - x + sqrt(x^2 - 2*x + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(1 - x\right) + \sqrt{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 56$$
$$x_{2} = 94$$
$$x_{3} = 58$$
$$x_{4} = 62$$
$$x_{5} = 84$$
$$x_{6} = 44$$
$$x_{7} = 36$$
$$x_{8} = 40$$
$$x_{9} = 52$$
$$x_{10} = 4$$
$$x_{11} = 16$$
$$x_{12} = 2$$
$$x_{13} = 38$$
$$x_{14} = 82$$
$$x_{15} = 80$$
$$x_{16} = 34$$
$$x_{17} = 18$$
$$x_{18} = 10$$
$$x_{19} = 68$$
$$x_{20} = 86$$
$$x_{21} = 54$$
$$x_{22} = 88$$
$$x_{23} = 78$$
$$x_{24} = 96$$
$$x_{25} = 60$$
$$x_{26} = 20$$
$$x_{27} = 8$$
$$x_{28} = 32$$
$$x_{29} = 92$$
$$x_{30} = 1$$
$$x_{31} = 74$$
$$x_{32} = 72$$
$$x_{33} = 50$$
$$x_{34} = 14$$
$$x_{35} = 46$$
$$x_{36} = 90$$
$$x_{37} = 22$$
$$x_{38} = 64$$
$$x_{39} = 28$$
$$x_{40} = 12$$
$$x_{41} = 6$$
$$x_{42} = 30$$
$$x_{43} = 100$$
$$x_{44} = 26$$
$$x_{45} = 48$$
$$x_{46} = 98$$
$$x_{47} = 66$$
$$x_{48} = 76$$
$$x_{49} = 42$$
$$x_{50} = 24$$
$$x_{51} = 70$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -x + 1 + sqrt(x^2 - 2*x + 1).
$$\left(1 - 0\right) + \sqrt{\left(0^{2} - 0\right) + 1}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 2$$
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x - 1}{\sqrt{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}} - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{x^{2} - 2 x + 1} + 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(1 - x\right) + \sqrt{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1} = x + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + 1$$
- No
$$\left(1 - x\right) + \sqrt{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1} = - x - \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar