Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2}} - \frac{4 \cdot 2^{x} \log{\left(2 \right)}}{x^{3}} + \frac{6 \cdot 2^{x}}{x^{4}} + 2 x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -78.5270825679419$$
$$x_{2} = -40.8162093266346$$
$$x_{3} = 9.2271695788973$$
$$x_{4} = -75.3849592185347$$
$$x_{5} = -37.672573565113$$
$$x_{6} = 14.969858354573$$
$$x_{7} = -25.0929104121116$$
$$x_{8} = -94.2371684817036$$
$$x_{9} = 6.09414477164199$$
$$x_{10} = 2.76233899681999$$
$$x_{11} = 20.7241874296904$$
$$x_{12} = -97.3791034786112$$
$$x_{13} = -69.100567727981$$
$$x_{14} = -65.9582857893902$$
$$x_{15} = -28.2389365752602$$
$$x_{16} = -50.2455828375744$$
$$x_{17} = 17.7964855290058$$
$$x_{18} = -2.79183213492823$$
$$x_{19} = -6.12121711102813$$
$$x_{20} = -100.521017074687$$
$$x_{21} = -12.4864543622713$$
$$x_{22} = -43.9595528888955$$
$$x_{23} = -31.3840740178899$$
$$x_{24} = 23.7338820335109$$
$$x_{25} = -72.2427897046973$$
$$x_{26} = -91.0952098694071$$
$$x_{27} = -59.6735041304405$$
$$x_{28} = -15.6441283686004$$
$$x_{29} = -18.7964043661038$$
$$x_{30} = -21.9456128799738$$
$$x_{31} = -34.5285657554621$$
$$x_{32} = -62.8159348889734$$
$$x_{33} = -87.9532251106725$$
$$x_{34} = -9.31786565076895$$
$$x_{35} = -84.811211299318$$
$$x_{36} = -56.5309801938186$$
$$x_{37} = -53.3883466217256$$
$$x_{38} = -47.1026627703624$$
$$x_{39} = -81.6691650818489$$
$$x_{40} = 12.1810332804352$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2}} - \frac{4 \cdot 2^{x} \log{\left(2 \right)}}{x^{3}} + \frac{6 \cdot 2^{x}}{x^{4}} + 2 x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2}} - \frac{4 \cdot 2^{x} \log{\left(2 \right)}}{x^{3}} + \frac{6 \cdot 2^{x}}{x^{4}} + 2 x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[23.7338820335109, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-2.79183213492823, 2.76233899681999\right]$$