Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin(t)^2

Gráfico de la función y = sin(t)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2   
f(t) = sin (t)
f(t)=sin⁡2(t)f{\left(t \right)} = \sin^{2}{\left(t \right)} 
f = sin(t)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡2(t)=0\sin^{2}{\left(t \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:

Solución analítica
t1=0t_{1} = 0
t2=πt_{2} = \pi
Solución numérica
t1=−47.123890151099t_{1} = -47.123890151099
t2=−37.6991118771514t_{2} = -37.6991118771514
t3=91.1061867314459t_{3} = 91.1061867314459
t4=84.8230010166547t_{4} = 84.8230010166547
t5=−9.42477812668337t_{5} = -9.42477812668337
t6=−69.1150386253436t_{6} = -69.1150386253436
t7=−56.5486675191652t_{7} = -56.5486675191652
t8=97.3893725148693t_{8} = 97.3893725148693
t9=−6.28318513794069t_{9} = -6.28318513794069
t10=−91.1061872003049t_{10} = -91.1061872003049
t11=−62.8318528379059t_{11} = -62.8318528379059
t12=−47.1238900492539t_{12} = -47.1238900492539
t13=−34.5575189426108t_{13} = -34.5575189426108
t14=40.8407042560881t_{14} = 40.8407042560881
t15=37.6991120192083t_{15} = 37.6991120192083
t16=31.4159267865366t_{16} = 31.4159267865366
t17=−97.3893724403711t_{17} = -97.3893724403711
t18=50.2654824463473t_{18} = 50.2654824463473
t19=−18.8495556944209t_{19} = -18.8495556944209
t20=−94.2477794529919t_{20} = -94.2477794529919
t21=75.3982241944528t_{21} = 75.3982241944528
t22=69.1150381602162t_{22} = 69.1150381602162
t23=−1734.15914475848t_{23} = -1734.15914475848
t24=97.3893727097471t_{24} = 97.3893727097471
t25=−87.9645943587732t_{25} = -87.9645943587732
t26=91.1061871583643t_{26} = 91.1061871583643
t27=31.4159271479423t_{27} = 31.4159271479423
t28=−62.8318532583801t_{28} = -62.8318532583801
t29=−100.530964672522t_{29} = -100.530964672522
t30=−75.3982238620294t_{30} = -75.3982238620294
t31=72.256631027719t_{31} = 72.256631027719
t32=9.42477821024198t_{32} = 9.42477821024198
t33=75.3982239388525t_{33} = 75.3982239388525
t34=0t_{34} = 0
t35=69.1150385885879t_{35} = 69.1150385885879
t36=−31.4159267959754t_{36} = -31.4159267959754
t37=−65.9734457650176t_{37} = -65.9734457650176
t38=−28.2743337166085t_{38} = -28.2743337166085
t39=3.14159287686128t_{39} = 3.14159287686128
t40=−12.5663703661411t_{40} = -12.5663703661411
t41=−72.2566308741333t_{41} = -72.2566308741333
t42=−18.8495561207399t_{42} = -18.8495561207399
t43=62.8318528326557t_{43} = 62.8318528326557
t44=−15.7079632965264t_{44} = -15.7079632965264
t45=94.2477796093525t_{45} = 94.2477796093525
t46=53.4070756765307t_{46} = 53.4070756765307
t47=−84.8230018263493t_{47} = -84.8230018263493
t48=6.28318528425126t_{48} = 6.28318528425126
t49=−106.814150357553t_{49} = -106.814150357553
t50=34.5575190304759t_{50} = 34.5575190304759
t51=40.840703919946t_{51} = 40.840703919946
t52=−3.14159289677385t_{52} = -3.14159289677385
t53=−25.132741473063t_{53} = -25.132741473063
t54=−78.5398160958028t_{54} = -78.5398160958028
t55=56.5486676091327t_{55} = 56.5486676091327
t56=47.123889589354t_{56} = 47.123889589354
t57=−84.82300141007t_{57} = -84.82300141007
t58=−43.9822971745789t_{58} = -43.9822971745789
t59=25.1327414478072t_{59} = 25.1327414478072
t60=18.8495554002244t_{60} = 18.8495554002244
t61=−53.4070752836338t_{61} = -53.4070752836338
t62=−25.132741632083t_{62} = -25.132741632083
t63=25.1327410188866t_{63} = 25.1327410188866
t64=3.14159244884412t_{64} = 3.14159244884412
t65=−3.14159311568248t_{65} = -3.14159311568248
t66=59.6902605976901t_{66} = 59.6902605976901
t67=−40.8407046898283t_{67} = -40.8407046898283
t68=−50.2654822953391t_{68} = -50.2654822953391
t69=−12.5663700417108t_{69} = -12.5663700417108
t70=−31.4159267051849t_{70} = -31.4159267051849
t71=15.7079634406648t_{71} = 15.7079634406648
t72=−69.1150386737158t_{72} = -69.1150386737158
t73=47.123890018392t_{73} = 47.123890018392
t74=21.9911485851964t_{74} = 21.9911485851964
t75=53.4070753627408t_{75} = 53.4070753627408
t76=9.42477859080277t_{76} = 9.42477859080277
t77=78.5398161878405t_{77} = 78.5398161878405
t78=28.2743338652012t_{78} = 28.2743338652012
t79=81.6814091761104t_{79} = 81.6814091761104
t80=−21.9911485864515t_{80} = -21.9911485864515
t81=62.8318524523063t_{81} = 62.8318524523063
t82=−59.6902604576401t_{82} = -59.6902604576401
t83=65.9734457528975t_{83} = 65.9734457528975
t84=−81.6814090380061t_{84} = -81.6814090380061
t85=100.530964766599t_{85} = 100.530964766599
t86=−40.8407042660168t_{86} = -40.8407042660168
t87=87.9645943357576t_{87} = 87.9645943357576
t88=84.8230014093114t_{88} = 84.8230014093114
t89=−91.106187201329t_{89} = -91.106187201329
t90=18.8495556796107t_{90} = 18.8495556796107
t91=12.5663704518704t_{91} = 12.5663704518704
t92=−34.5575189701076t_{92} = -34.5575189701076
t93=43.982297169427t_{93} = 43.982297169427
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en sin(t)^2.
sin⁡2(0)\sin^{2}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddtf(t)=0\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddtf(t)=\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =
primera derivada
2sin⁡(t)cos⁡(t)=02 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=0t_{1} = 0
t2=−π2t_{2} = - \frac{\pi}{2}
t3=π2t_{3} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

 -pi     
(----, 1)
  2      

 pi    
(--, 1)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
t1=0t_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
t1=−π2t_{1} = - \frac{\pi}{2}
t1=π2t_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[π2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dt2f(t)=0\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dt2f(t)=\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =
segunda derivada
2(−sin⁡2(t)+cos⁡2(t))=02 \left(- \sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=−π4t_{1} = - \frac{\pi}{4}
t2=π4t_{2} = \frac{\pi}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π4,π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−π4]∪[π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
lim⁡t→−∞sin⁡2(t)=⟨0,1⟩\lim_{t \to -\infty} \sin^{2}{\left(t \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
lim⁡t→∞sin⁡2(t)=⟨0,1⟩\lim_{t \to \infty} \sin^{2}{\left(t \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,1⟩y = \left\langle 0, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(t)^2, dividida por t con t->+oo y t ->-oo
lim⁡t→−∞(sin⁡2(t)t)=0\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡t→∞(sin⁡2(t)t)=0\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
sin⁡2(t)=sin⁡2(t)\sin^{2}{\left(t \right)} = \sin^{2}{\left(t \right)}
- Sí
sin⁡2(t)=−sin⁡2(t)\sin^{2}{\left(t \right)} = - \sin^{2}{\left(t \right)}
- No
es decir, función
es
par
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