Sr Examen

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Gráfico de la función y = 3,5sgrt(4*cos(2x)+6*sin^2(x)+5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
            ____________________________
           /                   2        
       7*\/  4*cos(2*x) + 6*sin (x) + 5 
f(x) = ---------------------------------
                       2                
$$f{\left(x \right)} = \frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2}$$
f = 7*sqrt(6*sin(x)^2 + 4*cos(2*x) + 5)/2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 7*sqrt(4*cos(2*x) + 6*sin(x)^2 + 5)/2.
$$\frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(0 \right)} + 4 \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}\right) + 5}}{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{21}{2}$$
Punto:
(0, 21/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{7 \left(6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(2 x \right)}\right)}{2 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 21/2)

           ___ 
 -pi   7*\/ 7  
(----, -------)
  2       2    

         ___ 
 pi  7*\/ 7  
(--, -------)
 2      2    

(pi, 21/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2}\right) = \left\langle \frac{7}{2}, \frac{7 \sqrt{15}}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle \frac{7}{2}, \frac{7 \sqrt{15}}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2}\right) = \left\langle \frac{7}{2}, \frac{7 \sqrt{15}}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle \frac{7}{2}, \frac{7 \sqrt{15}}{2}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 7*sqrt(4*cos(2*x) + 6*sin(x)^2 + 5)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2 x}\right)$$
No se ha logrado calcular el límite a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2 x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2} = \frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2}$$
- Sí
$$\frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2} = - \frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2}$$
- No
es decir, función
es
par