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Trazado el gráfico de la función/ 3,5sgrt(4*cos(2x)+6*sin^2(x)+5)

Gráfico de la función y = 3,5sgrt(4*cos(2x)+6*sin^2(x)+5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            ____________________________
           /                   2        
       7*\/  4*cos(2*x) + 6*sin (x) + 5 
f(x) = ---------------------------------
                       2
f(x)=7(6sin⁡2(x)+4cos⁡(2x))+52f{\left(x \right)} = \frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2} 
f = 7*sqrt(6*sin(x)^2 + 4*cos(2*x) + 5)/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010911
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
7(6sin⁡2(x)+4cos⁡(2x))+52=0\frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 7*sqrt(4*cos(2*x) + 6*sin(x)^2 + 5)/2.
7(6sin⁡2(0)+4cos⁡(0⋅2))+52\frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(0 \right)} + 4 \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}\right) + 5}}{2}
Resultado:
f(0)=212f{\left(0 \right)} = \frac{21}{2}
Punto:
(0, 21/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
7(6sin⁡(x)cos⁡(x)−4sin⁡(2x))2(6sin⁡2(x)+4cos⁡(2x))+5=0\frac{7 \left(6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(2 x \right)}\right)}{2 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
x4=πx_{4} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 21/2)

           ___ 
 -pi   7*\/ 7  
(----, -------)
  2       2    

         ___ 
 pi  7*\/ 7  
(--, -------)
 2      2    

(pi, 21/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Decrece en los intervalos
[−π2,0]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(7(6sin⁡2(x)+4cos⁡(2x))+52)=⟨72,7152⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2}\right) = \left\langle \frac{7}{2}, \frac{7 \sqrt{15}}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨72,7152⟩y = \left\langle \frac{7}{2}, \frac{7 \sqrt{15}}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(7(6sin⁡2(x)+4cos⁡(2x))+52)=⟨72,7152⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2}\right) = \left\langle \frac{7}{2}, \frac{7 \sqrt{15}}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨72,7152⟩y = \left\langle \frac{7}{2}, \frac{7 \sqrt{15}}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 7*sqrt(4*cos(2*x) + 6*sin(x)^2 + 5)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
lim⁡x→−∞(7(6sin⁡2(x)+4cos⁡(2x))+52x)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2 x}\right)
No se ha logrado calcular el límite a la derecha
lim⁡x→∞(7(6sin⁡2(x)+4cos⁡(2x))+52x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2 x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
7(6sin⁡2(x)+4cos⁡(2x))+52=7(6sin⁡2(x)+4cos⁡(2x))+52\frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2} = \frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2}
- Sí
7(6sin⁡2(x)+4cos⁡(2x))+52=−7(6sin⁡2(x)+4cos⁡(2x))+52\frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2} = - \frac{7 \sqrt{\left(6 \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) + 5}}{2}
- No
es decir, función
es
par
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