Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ asin(x)*sqrt(1-2*x^2)

Gráfico de la función y = asin(x)*sqrt(1-2*x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  __________
                 /        2 
f(x) = asin(x)*\/  1 - 2*x
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{1 - 2 x^{2}} \operatorname{asin}{\left(x \right)}$$ 
f = sqrt(1 - 2*x^2)*asin(x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{1 - 2 x^{2}} \operatorname{asin}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -0.707106781186548$$
$$x_{3} = 0.707106781186548$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en asin(x)*sqrt(1 - 2*x^2).
$$\sqrt{1 - 2 \cdot 0^{2}} \operatorname{asin}{\left(0 \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}} + \frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{x \sqrt{1 - 2 x^{2}}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{4 x}{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{2 \left(\frac{2 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - 1\right) \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{1 - 2 x^{2}} \operatorname{asin}{\left(x \right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{1 - 2 x^{2}} \operatorname{asin}{\left(x \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función asin(x)*sqrt(1 - 2*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{1 - 2 x^{2}} \operatorname{asin}{\left(x \right)}}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{1 - 2 x^{2}} \operatorname{asin}{\left(x \right)} = - \sqrt{1 - 2 x^{2}} \operatorname{asin}{\left(x \right)}$$
- No
$$\sqrt{1 - 2 x^{2}} \operatorname{asin}{\left(x \right)} = \sqrt{1 - 2 x^{2}} \operatorname{asin}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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