Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (log(x)/log(10))*(x+5)-cos(x)

Gráfico de la función y = (log(x)/log(10))*(x+5)-cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        log(x)                 
f(x) = -------*(x + 5) - cos(x)
       log(10)
f(x)=log⁡(x)log⁡(10)(x+5)−cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}} \left(x + 5\right) - \cos{\left(x \right)} 
f = (log(x)/log(10))*(x + 5) - cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2525
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)log⁡(10)(x+5)−cos⁡(x)=0\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}} \left(x + 5\right) - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1.1606930820851x_{1} = 1.1606930820851
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (log(x)/log(10))*(x + 5) - cos(x).
5log⁡(0)log⁡(10)−cos⁡(0)5 \frac{\log{\left(0 \right)}}{\log{\left(10 \right)}} - \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
log⁡(x)log⁡(10)+sin⁡(x)+x+5xlog⁡(10)=0\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}} + \sin{\left(x \right)} + \frac{x + 5}{x \log{\left(10 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
cos⁡(x)+2xlog⁡(10)−x+5x2log⁡(10)=0\cos{\left(x \right)} + \frac{2}{x \log{\left(10 \right)}} - \frac{x + 5}{x^{2} \log{\left(10 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−17.3110989753744x_{1} = -17.3110989753744
x2=20.4364046541651x_{2} = 20.4364046541651
x3=−36.1419946616304x_{3} = -36.1419946616304
x4=−20.3938327217505x_{4} = -20.3938327217505
x5=14.1570106760019x_{5} = 14.1570106760019
x6=76.9742956183281x_{6} = 76.9742956183281
x7=89.5399700847702x_{7} = 89.5399700847702
x8=64.4088687779894x_{8} = 64.4088687779894
x9=92.6725497764687x_{9} = 92.6725497764687
x10=32.9978901142349x_{10} = 32.9978901142349
x11=51.8438479246936x_{11} = 51.8438479246936
x12=−67.5511470983916x_{12} = -67.5511470983916
x13=73.8219427907218x_{13} = 73.8219427907218
x14=−4.89283341690999x_{14} = -4.89283341690999
x15=26.7167512576401x_{15} = 26.7167512576401
x16=95.8228717192445x_{16} = 95.8228717192445
x17=−7.76185578541333x_{17} = -7.76185578541333
x18=42.4024662381136x_{18} = 42.4024662381136
x19=7.87411490234106x_{19} = 7.87411490234106
x20=67.5382877239412x_{20} = 67.5382877239412
x21=4.71789330039592x_{21} = 4.71789330039592
x22=39.27955740936x_{22} = 39.27955740936
x23=61.2545454352294x_{23} = 61.2545454352294
x24=−193.210254148877x_{24} = -193.210254148877
x25=98.9560015658512x_{25} = 98.9560015658512
x26=−29.862109434572x_{26} = -29.862109434572
x27=−42.4229448981844x_{27} = -42.4229448981844
x28=−64.3953814932633x_{28} = -64.3953814932633
x29=86.3890617254177x_{29} = 86.3890617254177
x30=−70.6792553955567x_{30} = -70.6792553955567
x31=45.5615795515252x_{31} = 45.5615795515252
x32=−51.82709054731x_{32} = -51.82709054731
x33=58.1262930101745x_{33} = 58.1262930101745
x34=17.2608863618323x_{34} = 17.2608863618323
x35=−32.9715530394443x_{35} = -32.9715530394443
x36=29.8330122319191x_{36} = 29.8330122319191
x37=−61.2687236398288x_{37} = -61.2687236398288
x38=48.6866819357655x_{38} = 48.6866819357655
x39=−45.5425103186596x_{39} = -45.5425103186596
x40=36.1179555863686x_{40} = 36.1179555863686
x41=−73.8337077949027x_{41} = -73.8337077949027
x42=−95.8138066878596x_{42} = -95.8138066878596
x43=−39.257436116621x_{43} = -39.257436116621
x44=−58.1113474821218x_{44} = -58.1113474821218
x45=−80.1163718016641x_{45} = -80.1163718016641
x46=70.6915437210701x_{46} = 70.6915437210701
x47=−26.6842113984997x_{47} = -26.6842113984997
x48=−92.6819219532029x_{48} = -92.6819219532029
x49=54.9706895103018x_{49} = 54.9706895103018
x50=23.5474172150086x_{50} = 23.5474172150086
x51=−86.3991155013837x_{51} = -86.3991155013837
x52=−48.7045186232064x_{52} = -48.7045186232064
x53=−54.9864879430894x_{53} = -54.9864879430894
x54=83.2571083800574x_{54} = 83.2571083800574
x55=−23.5842653394264x_{55} = -23.5842653394264
x56=−11.0526738790248x_{56} = -11.0526738790248
x57=−83.2466749896603x_{57} = -83.2466749896603
x58=−76.963010479837x_{58} = -76.963010479837
x59=−14.0954143054735x_{59} = -14.0954143054735
x60=80.1055295144655x_{60} = 80.1055295144655
x61=−89.5302688896976x_{61} = -89.5302688896976
x62=−139884.125286961x_{62} = -139884.125286961
x63=10.9740289634625x_{63} = 10.9740289634625
x64=−98.9647786925523x_{64} = -98.9647786925523

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[98.9560015658512,∞)\left[98.9560015658512, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,4.71789330039592]\left(-\infty, 4.71789330039592\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)log⁡(10)(x+5)−cos⁡(x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}} \left(x + 5\right) - \cos{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(log⁡(x)log⁡(10)(x+5)−cos⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}} \left(x + 5\right) - \cos{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (log(x)/log(10))*(x + 5) - cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)log⁡(10)(x+5)−cos⁡(x)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}} \left(x + 5\right) - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(log⁡(x)log⁡(10)(x+5)−cos⁡(x)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}} \left(x + 5\right) - \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)log⁡(10)(x+5)−cos⁡(x)=(5−x)log⁡(−x)log⁡(10)−cos⁡(x)\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}} \left(x + 5\right) - \cos{\left(x \right)} = \frac{\left(5 - x\right) \log{\left(- x \right)}}{\log{\left(10 \right)}} - \cos{\left(x \right)}
- No
log⁡(x)log⁡(10)(x+5)−cos⁡(x)=−(5−x)log⁡(−x)log⁡(10)+cos⁡(x)\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}} \left(x + 5\right) - \cos{\left(x \right)} = - \frac{\left(5 - x\right) \log{\left(- x \right)}}{\log{\left(10 \right)}} + \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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