Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ e=x-ln(x)/x(1+x)

Gráfico de la función y = e=x-ln(x)/x(1+x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           log(x)        
f(x) = x - ------*(1 + x)
             x
f(x)=x−log⁡(x)x(x+1)f{\left(x \right)} = x - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(x + 1\right) 
f = x - log(x)/x*(x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−log⁡(x)x(x+1)=0x - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(x + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x - log(x)/x*(1 + x).
−log⁡(0)0- \frac{\log{\left(0 \right)}}{0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x+1)(log⁡(x)x2−1x2)+1−log⁡(x)x=0\left(x + 1\right) \left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}\right) + 1 - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1.44068229598185x_{1} = 1.44068229598185
Signos de extremos en los puntos:
(1.4406822959818535, 0.822132213005569)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1.44068229598185x_{1} = 1.44068229598185
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[1.44068229598185,∞)\left[1.44068229598185, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,1.44068229598185]\left(-\infty, 1.44068229598185\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2log⁡(x)−2−(x+1)(2log⁡(x)−3)xx2=0\frac{2 \log{\left(x \right)} - 2 - \frac{\left(x + 1\right) \left(2 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{x}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−log⁡(x)x(x+1))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(x + 1\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x−log⁡(x)x(x+1))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(x + 1\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x - log(x)/x*(1 + x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−log⁡(x)x(x+1)x)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(x + 1\right)}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x−log⁡(x)x(x+1)x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(x + 1\right)}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−log⁡(x)x(x+1)=−x+(1−x)log⁡(−x)xx - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(x + 1\right) = - x + \frac{\left(1 - x\right) \log{\left(- x \right)}}{x}
- No
x−log⁡(x)x(x+1)=x−(1−x)log⁡(−x)xx - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(x + 1\right) = x - \frac{\left(1 - x\right) \log{\left(- x \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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