sqrt(4x^2-12x+9)>=2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{\left(4 x^{2} - 12 x\right) + 9} \geq 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{\left(4 x^{2} - 12 x\right) + 9} = 2$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{\left(4 x^{2} - 12 x\right) + 9} = 2$$
$$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} = 2$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$4 x^{2} - 12 x + 9 = 4$$
$$4 x^{2} - 12 x + 9 = 4$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$4 x^{2} - 12 x + 5 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 4$$
$$b = -12$$
$$c = 5$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-12)^2 - 4 * (4) * (5) = 64

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$

Como
$$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} = 2$$
y
$$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} \geq 0$$
entonces
$$2 \geq 0$$
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{2}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{\left(4 x^{2} - 12 x\right) + 9} \geq 2$$
$$\sqrt{\left(- \frac{2 \cdot 12}{5} + 4 \left(\frac{2}{5}\right)^{2}\right) + 9} \geq 2$$

11/5 >= 2

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq \frac{1}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq \frac{1}{2}$$
$$x \geq \frac{5}{2}$$