(log(4*x+8)/log(5))<3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\log{\left(4 x + 8 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} < 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\log{\left(4 x + 8 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} = 3$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{\log{\left(4 x + 8 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} = 3$$
$$\frac{\log{\left(4 x + 8 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} = 3$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de log =1/log(5)
$$\log{\left(4 x + 8 \right)} = 3 \log{\left(5 \right)}$$
Es la ecuación de la forma:

log(v)=p

Por definición log

v=e^p

entonces
$$4 x + 8 = e^{\frac{3}{\frac{1}{\log{\left(5 \right)}}}}$$
simplificamos
$$4 x + 8 = 125$$
$$4 x = 117$$
$$x = \frac{117}{4}$$
$$x_{1} = \frac{117}{4}$$
$$x_{1} = \frac{117}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{117}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{117}{4}$$
=
$$\frac{583}{20}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\log{\left(4 x + 8 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} < 3$$
$$\frac{\log{\left(8 + \frac{4 \cdot 583}{20} \right)}}{\log{\left(5 \right)}} < 3$$

log(623/5)    
---------- < 3
  log(5)      

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < \frac{117}{4}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1