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sin(x)<=sqrt2/2

sin(x)<=sqrt2/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
            ___
          \/ 2 
sin(x) <= -----
            2  
$$\sin{\left(x \right)} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
sin(x) <= sqrt(2)/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(x \right)} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \frac{\pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(x \right)} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4} \right)} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
                             ___
   /  1    pi         \    \/ 2 
sin|- -- + -- + 2*pi*n| <= -----
   \  10   4          /      2  
                           

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x \geq 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida [src]
  /   /             pi\     /3*pi                \\
Or|And|0 <= x, x <= --|, And|---- <= x, x <= 2*pi||
  \   \             4 /     \ 4                  //
$$\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{4}\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{4} \leq x \wedge x \leq 2 \pi\right)$$
((0 <= x)∧(x <= pi/4))∨((3*pi/4 <= x)∧(x <= 2*pi))
Respuesta rápida 2 [src]
    pi     3*pi       
[0, --] U [----, 2*pi]
    4       4         
$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, 2 \pi\right]$$
x in Union(Interval(0, pi/4), Interval(3*pi/4, 2*pi))
Gráfico
sin(x)<=sqrt2/2 desigualdades