1/(x-2)+1/(3-x)<=5 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{3 - x} \leq 5$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{3 - x} = 5$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{3 - x} = 5$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
-2 + x y 3 - x
obtendremos:
$$\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{3 - x}\right) = 5 x - 10$$
$$- \frac{1}{x - 3} = 5 x - 10$$
$$\left(3 - x\right) \left(- \frac{1}{x - 3}\right) = \left(3 - x\right) \left(5 x - 10\right)$$
$$1 = - 5 x^{2} + 25 x - 30$$
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$1 = - 5 x^{2} + 25 x - 30$$
en
$$5 x^{2} - 25 x + 31 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 5$$
$$b = -25$$
$$c = 31$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-25)^2 - 4 * (5) * (31) = 5

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{5}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}\right)$$
=
$$\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{5}}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{3 - x} \leq 5$$
$$\frac{1}{3 - \left(\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{5}}{10}\right)} + \frac{1}{-2 + \left(\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{5}}{10}\right)} \leq 5$$

    1           1         
--------- + ---------     
      ___         ___     
2   \/ 5    3   \/ 5  <= 5
- - -----   - + -----     
5     10    5     10      
     

pero

    1           1         
--------- + ---------     
      ___         ___     
2   \/ 5    3   \/ 5  >= 5
- - -----   - + -----     
5     10    5     10      
     

Entonces
$$x \leq \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10} \wedge x \leq \frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{5}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1