1/x-2+1/3-x<=2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- x + \left(\left(-2 + \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{3}\right) \leq 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- x + \left(\left(-2 + \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{3}\right) = 2$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$- x + \left(\left(-2 + \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{3}\right) = 2$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
y x
obtendremos:
$$x \left(- x + \left(\left(-2 + \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{3}\right)\right) = 2 x$$
$$- x^{2} - \frac{5 x}{3} + 1 = 2 x$$
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$- x^{2} - \frac{5 x}{3} + 1 = 2 x$$
en
$$- x^{2} - \frac{11 x}{3} + 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = - \frac{11}{3}$$
$$c = 1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-11/3)^2 - 4 * (-1) * (1) = 157/9

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{157}}{6} - \frac{11}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{11}{6} + \frac{\sqrt{157}}{6}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{157}}{6} - \frac{11}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{11}{6} + \frac{\sqrt{157}}{6}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{157}}{6} - \frac{11}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{11}{6} + \frac{\sqrt{157}}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{157}}{6} - \frac{11}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{11}{6} + \frac{\sqrt{157}}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{157}}{6} - \frac{11}{6}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{157}}{6} - \frac{29}{15}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- x + \left(\left(-2 + \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{3}\right) \leq 2$$
$$\left(\left(-2 + \frac{1}{- \frac{\sqrt{157}}{6} - \frac{29}{15}}\right) + \frac{1}{3}\right) - \left(- \frac{\sqrt{157}}{6} - \frac{29}{15}\right) \leq 2$$

                        _____     
4          1          \/ 157      
-- + -------------- + -------     
15            _____      6    <= 2
       29   \/ 157                
     - -- - -------               
       15      6                  

pero

                        _____     
4          1          \/ 157      
-- + -------------- + -------     
15            _____      6    >= 2
       29   \/ 157                
     - -- - -------               
       15      6                  

Entonces
$$x \leq - \frac{\sqrt{157}}{6} - \frac{11}{6}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{\sqrt{157}}{6} - \frac{11}{6} \wedge x \leq - \frac{11}{6} + \frac{\sqrt{157}}{6}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2