Se da la desigualdad:
$$\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} < -2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} = -2$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} = -2$$
$$\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} = -2$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de log =1/log(3)
$$\log{\left(x + 1 \right)} = - 2 \log{\left(3 \right)}$$
Es la ecuación de la forma:
log(v)=p
Por definición log
v=e^p
entonces
$$x + 1 = e^{- \frac{2}{\frac{1}{\log{\left(3 \right)}}}}$$
simplificamos
$$x + 1 = \frac{1}{9}$$
$$x = - \frac{8}{9}$$
$$x_{1} = - \frac{8}{9}$$
$$x_{1} = - \frac{8}{9}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{8}{9}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{8}{9} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{89}{90}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} < -2$$
$$\frac{\log{\left(- \frac{89}{90} + 1 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} < -2$$
-log(90)
--------- < -2
log(3)
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < - \frac{8}{9}$$
_____
\
-------ο-------
x1