Se da la desigualdad:
$$\left(\left(- 2 \left(\frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)^{2} + \left(\left(3 x + 1\right) \log{\left(2 \right)}^{2} + \log{\left(3 x + 1 \right)}^{22}\right)\right) - 4 \cdot 2 \log{\left(3 x + 1 \right)}\right) + 6 \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left(- 2 \left(\frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)^{2} + \left(\left(3 x + 1\right) \log{\left(2 \right)}^{2} + \log{\left(3 x + 1 \right)}^{22}\right)\right) - 4 \cdot 2 \log{\left(3 x + 1 \right)}\right) + 6 = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 0.654431990671493$$
$$x_{2} = 0.303220633176932$$
$$x_{1} = 0.654431990671493$$
$$x_{2} = 0.303220633176932$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 0.303220633176932$$
$$x_{1} = 0.654431990671493$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 0.303220633176932$$
=
$$0.203220633176932$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\left(- 2 \left(\frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)^{2} + \left(\left(3 x + 1\right) \log{\left(2 \right)}^{2} + \log{\left(3 x + 1 \right)}^{22}\right)\right) - 4 \cdot 2 \log{\left(3 x + 1 \right)}\right) + 6 \leq 0$$
$$\left(- 4 \cdot 2 \log{\left(0.203220633176932 \cdot 3 + 1 \right)} + \left(- 2 \left(\frac{\log{\left(0.203220633176932 \cdot 3 + 1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)^{2} + \left(\log{\left(0.203220633176932 \cdot 3 + 1 \right)}^{22} + \left(0.203220633176932 \cdot 3 + 1\right) \log{\left(2 \right)}^{2}\right)\right)\right) + 6 \leq 0$$
2 0.4531979954321
2.19180682766505 + 1.6096618995308*log (2) - ---------------
2 <= 0
log (2)
pero
2 0.4531979954321
2.19180682766505 + 1.6096618995308*log (2) - ---------------
2 >= 0
log (2)
Entonces
$$x \leq 0.303220633176932$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 0.303220633176932 \wedge x \leq 0.654431990671493$$
_____
/ \
-------•-------•-------
x2 x1