log^2x-5logx<-6 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(x \right)}^{2} - 5 \log{\left(x \right)} < -6$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(x \right)}^{2} - 5 \log{\left(x \right)} = -6$$
Resolvemos:
$$x_{1} = e^{2}$$
$$x_{2} = e^{3}$$
$$x_{1} = e^{2}$$
$$x_{2} = e^{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = e^{2}$$
$$x_{2} = e^{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{2}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(x \right)}^{2} - 5 \log{\left(x \right)} < -6$$
$$- 5 \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{2} \right)} + \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{2} \right)}^{2} < -6$$

   2/  1     2\        /  1     2\     
log |- -- + e | - 5*log|- -- + e | < -6
    \  10     /        \  10     /     

pero

   2/  1     2\        /  1     2\     
log |- -- + e | - 5*log|- -- + e | > -6
    \  10     /        \  10     /     

Entonces
$$x < e^{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > e^{2} \wedge x < e^{3}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2