sqrt(2*x)-3-sqrt(x)-2>=1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- \sqrt{x} + \left(\sqrt{2 x} - 3\right)\right) - 2 \geq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- \sqrt{x} + \left(\sqrt{2 x} - 3\right)\right) - 2 = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(- \sqrt{x} + \left(\sqrt{2 x} - 3\right)\right) - 2 = 1$$
$$\sqrt{x} \left(-1 + \sqrt{2}\right) = 6$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$x \left(-1 + \sqrt{2}\right)^{2} = 36$$
$$x \left(-1 + \sqrt{2}\right)^{2} = 36$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$x \left(-1 + \sqrt{2}\right)^{2} - 36 = 0$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-36 + x-1+sqrt+2)^2 = 0

Sumamos los términos semejantes en el miembro izquierdo de la ecuación:

-36 + x*(-1 + sqrt(2))^2 = 0

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x \left(-1 + \sqrt{2}\right)^{2} = 36$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (-1 + sqrt(2))^2

x = 36 / ((-1 + sqrt(2))^2)

Como
$$\sqrt{x} = \frac{6}{-1 + \sqrt{2}}$$
y
$$\sqrt{x} \geq 0$$
entonces
$$\frac{6}{-1 + \sqrt{2}} \geq 0$$
$$x_{1} = \frac{36}{\left(1 - \sqrt{2}\right)^{2}}$$
$$x_{1} = \frac{36}{\left(1 - \sqrt{2}\right)^{2}}$$
$$x_{1} = \frac{36}{\left(1 - \sqrt{2}\right)^{2}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{36}{\left(1 - \sqrt{2}\right)^{2}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{36}{\left(1 - \sqrt{2}\right)^{2}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{36}{\left(1 - \sqrt{2}\right)^{2}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- \sqrt{x} + \left(\sqrt{2 x} - 3\right)\right) - 2 \geq 1$$
$$-2 + \left(- \sqrt{- \frac{1}{10} + \frac{36}{\left(1 - \sqrt{2}\right)^{2}}} + \left(-3 + \sqrt{2 \left(- \frac{1}{10} + \frac{36}{\left(1 - \sqrt{2}\right)^{2}}\right)}\right)\right) \geq 1$$

           ____________________         _____________________     
          /   1        72              /   1         36           
-5 +     /  - - + ------------  -     /  - -- + ------------      
        /     5              2       /     10              2  >= 1
       /          /      ___\       /           /      ___\       
     \/           \1 - \/ 2 /     \/            \1 - \/ 2 /       
     

pero

           ____________________         _____________________    
          /   1        72              /   1         36          
-5 +     /  - - + ------------  -     /  - -- + ------------     
        /     5              2       /     10              2  < 1
       /          /      ___\       /           /      ___\      
     \/           \1 - \/ 2 /     \/            \1 - \/ 2 /      
    

Entonces
$$x \leq \frac{36}{\left(1 - \sqrt{2}\right)^{2}}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{36}{\left(1 - \sqrt{2}\right)^{2}}$$

         _____  
        /
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       x1